GCD कैलकुलेटर
संख्याओं के एक सेट का सबसे बड़ा आम विभाजक (GCD) की गणना करें।
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GCD: एक व्यापक गाइड
सबसे बड़ा आम विभाजक क्या है?
ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर (GCD) को सबसे ज्यादा कॉमन फैक्टर (HCF) या ग्रेटेस्ट कॉमन फैक्टर (GCF) के नाम से भी जाना जाता है। यह सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करता है जो शेष को छोड़ने के बिना दो या अधिक संख्याओं को विभाजित करता है।
उदाहरण के लिए, 12 और 18 का जीसीडी 6 है, क्योंकि यह सबसे बड़ी संख्या है जो शेष छोड़ने के बिना 12 और 18 दोनों को विभाजित करती है। जीसीडी कभी नकारात्मक या शून्य नहीं है और किसी भी दो संख्याओं के बीच सबसे छोटा संभव जीसीडी 1 है।
ऐतिहासिक महत्व
जीसीडी की अवधारणा में प्राचीन जड़ें हैं जो यूक्लिड के तत्वों (लगभग 300 बीसीई) में वापस आती हैं। GCD को खोजने के लिए Euclidean एल्गोरिदम आज भी सामान्य उपयोग में सबसे पुराना एल्गोरिदम में से एक है। पूरे इतिहास में, विभिन्न संस्कृतियों में गणितज्ञ - प्राचीन यूनानी, चीनी और भारतीय सभ्यताओं सहित - इस अवधारणा के सार्वभौमिक महत्व का प्रदर्शन करते हुए, आम divisors को खोजने के लिए विकसित तरीके।
GCD ढूँढने के तरीके
दो या अधिक संख्याओं के GCD की गणना के लिए कई तरीके हैं:
1. Euclidean Algorithm
This efficient method is based on the principle that if a and b are two positive integers with a > b, then: GCD(a,b) = GCD(b, a mod b), where "a mod b" represents the remainder when a is divided by b. The algorithm continues recursively until the remainder becomes zero, at which point the GCD is the last non-zero remainder.
उदाहरण: GCD(48, 18)
48 = 18 × 2 + 12
18 = 12 × 1 + 6
12 = 6 × 2 + 0
चूंकि शेष अब 0 है, जीसीडी 6 है।
2. प्राइम फैक्टराइजेशन विधि
इस विधि में प्रत्येक संख्या को प्राइम कारकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है। जीसीडी आम प्राइम कारकों का उत्पाद है, प्रत्येक ने न्यूनतम शक्ति में वृद्धि की, जो किसी भी संख्या में दिखाई देती है।
उदाहरण: GCD(48, 180)
48 = 24 × 3
180 = 22 × 32 × 5
सामान्य कारक: 22 × 3 = 12
इसलिए, GCD(48, 180) = 12
3. रचनात्मक विभाजन विधि
इसके अलावा लंबी डिवीजन विधि के रूप में भी जाना जाता है, इस दृष्टिकोण में छोटी संख्या से बड़ी संख्या को विभाजित करना शामिल है, फिर शेष द्वारा डिविसर को विभाजित करना और शेष होने तक जारी रहना शून्य है।
जीसीडी के गुण
- GCD(a,b) = GCD(b,a) - संख्याओं का क्रम कोई फर्क नहीं पड़ता
- GCD(a,0) = a | - किसी भी संख्या और शून्य का GCD संख्या का पूर्ण मूल्य है।
- GCD(a,a) = a | - The GCD of a number with one is the निरपेक्ष value of the number
- GCD(a,1) = 1 - किसी भी संख्या का GCD हमेशा 1 होता है
- यदि कोई लाभांश b समान रूप से, तो GCD(a,b) = |a
- GCD(a,b) × LCM(a,b) = |a × b | - GCD और LCM का उत्पाद संख्या के बराबर है।
रियल वर्ल्ड एप्लीकेशन
GCD में गणित से परे कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं:
क्रिप्टोग्राफ़ी
जीसीडी आरएसए जैसे एल्गोरिदम में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जिसका व्यापक रूप से सुरक्षित डेटा ट्रांसमिशन के लिए उपयोग किया जाता है। आरएसए में बड़ी प्राइम नंबर ढूंढना शामिल है, और जीसीडी का उपयोग यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि कुछ प्रमुख मान सह-प्राइम हैं।
भिन्नता और अनुपात
जीसीडी अपने जीसीडी द्वारा न्यूमेरेटर और डिनोमिनेटर दोनों को विभाजित करके अपने सबसे कम शब्दों में भिन्नता को सरल बनाने में मदद करता है।
इंजीनियरिंग और डिजाइन
जब पैटर्न, टाइल्स, या गियर डिजाइन करते हैं, तो GCD सबसे बड़ा संभव इकाई आकार या दांतों की संख्या को निर्धारित करने में मदद करता है जो कुशलतापूर्वक काम करेगा।
संसाधन आवंटन
GCD संसाधनों को समान समूहों में विभाजित करने में मदद करता है, जैसे कि लोगों के बीच वस्तुओं को वितरित करना या शेड्यूल बनाना।
एलसीएम के लिए कनेक्शन
जीसीडी पूर्वोत्तर कॉमन मल्टीपल (एलसीएम) से निकटता से संबंधित है। किसी भी दो नंबर ए और बी के लिए, उनके जीसीडी और एलसीएम सूत्र से जुड़े हुए हैं:
यह संबंध हमें जीसीडी और इसके विपरीत जानने के बाद एलसीएम की आसानी से गणना करने की अनुमति देता है।
जीसीडी सूत्र
दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा आम विभाजक (GCD) सबसे बड़ा सकारात्मक पूर्णांक है जो शेष को छोड़ने के बिना सभी संख्याओं को विभाजित करता है।
GCD की गणना कैसे करें
GCD की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:
-
1प्रत्येक संख्या के प्रमुख कारकीकरण का पता लगाएं
-
2प्रत्येक सामान्य प्राइम फैक्टर की सबसे कम शक्ति लें
-
3इन प्रमुख कारकों को एक साथ गुणा करें
उदाहरण के लिए, 12 और 18 के GCD को खोजने के लिए:
18 = 2 × 3²
GCD = 2 × 3 = 6
GCD - व्यावहारिक उदाहरण
उदाहरण 1फ्रैक्शन को सरलीकृत करना
अंश 24/36 को सरल बनाने के लिए, हमें 24 और 36 के GCD को खोजने की आवश्यकता है।
GCD(24,36) = 12
24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3
उदाहरण 2समान रूप से विभाजित आइटम
एक शिक्षक के पास 48 पेंसिल और 36 इरेज़र हैं। छात्रों की सबसे बड़ी संख्या क्या है जो समान संख्या में पेंसिल और इरेज़र प्राप्त कर सकते हैं?
GCD(48,36) = 12 विद्यार्थी
प्रत्येक छात्र को 4 पेंसिल और 3 इरेज़र मिलते हैं
उदाहरण 3आवर्ती पैटर्न
दो गियर क्रमशः 24 और 36 दांत होते हैं। कितने घूर्णन के बाद वे उसी स्थिति में संरेखित होंगे?
GCD(24,36) = 12 दांत
पहला गियर: 12/24 = 1/2 रोटेशन
दूसरा गियर: 12/36 = 1/3 रोटेशन