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क्या हैं?

एक्सपोनेंट, जिसे शक्तियों या सूचकांकों के रूप में भी जाना जाता है, गणितीय शॉर्टहैंड हैं जो अपने द्वारा कई बार दोहराई गई गुणता का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक एक्सोनेंट में दो प्रमुख घटक होते हैं:

• आधार:संख्या खुद से गुणा किया जा रहा है
• अनावरण:छोटे सुपरस्क्रिप्ट संख्या यह दर्शाता है कि आधार को अपने आप में गुणा करने के लिए कितने बार

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 2 में³, 2 आधार है और 3 घाती है। इसका मतलब 2 × 2 × 2 = 8.

एक्सपोनेंट के कानून

निम्नलिखित नियमों को समझना प्रभावी ढंग से exponents के साथ काम करने के लिए आवश्यक है:

एक्सपोनेंट के विशेष प्रकार

आंशिक एक्सपोनेंट

आंशिक एक्सोनेंट जड़ों का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंश का विभाजक जड़ को इंगित करता है, जबकि संख्यात्मक शक्ति को इंगित करता है।

उदाहरण के लिए:

• a^1/2= √a (वर्गीय जड़)
• a^1/3= a (cube root)
• a^m/n = ⁿ√a^m = (ⁿ√a)^m

एक्सपोनेंट के रियल-विश्व अनुप्रयोग

1. एक्सपोनेंशियल ग्रोथ

एक्सपोनेंशियल ग्रोथ तब होती है जब इसके वर्तमान मूल्य के अनुपात में एक मात्रा बढ़ जाती है। गणितीय मॉडल y = y0e है^{हिन्दी}, जहां y0 प्रारंभिक राशि है और k सकारात्मक विकास स्थिर है।

अनुप्रयोगों में शामिल हैं:

• जनसंख्या वृद्धि:बैक्टीरिया की आबादी हर कुछ घंटों में दोगुनी हो सकती है
• यौगिक ब्याज:जब ब्याज मिश्रित हो जाता है तब मुद्रा तेजी से बढ़ता है
• प्रौद्योगिकी विकास:मूर के कानून की भविष्यवाणी की गई है कि कंप्यूटिंग शक्ति हर दो साल में दोगुनी हो जाती है।

2. आकस्मिक Decay

एक्सपोनेंशियल क्षय तब होता है जब इसकी वर्तमान मान के अनुपात में मात्रा घट जाती है। गणितीय मॉडल y = y0e है^-kt, जहां y0 प्रारंभिक राशि है और k सकारात्मक क्षय स्थिर है।

अनुप्रयोगों में शामिल हैं:

• रेडियोधर्मी Decay:एक स्थिर दर पर कार्बन-14 क्षय जैसे तत्व (5,730 वर्षों का आधा जीवन)
• न्यूटन के शीतलक कानून:वस्तुएं वस्तु और परिवेश के बीच तापमान अंतर के बराबर दर पर ठंडा होती हैं
• दवा चयापचय:रक्तप्रवाह में दवा एकाग्रता समय के साथ तेजी से कम हो जाती है

महत्वपूर्ण अवधारणा

दोगुना समय

एक्सोनेंशियल ग्रोथ में, डबल करने के लिए एक मात्रा के लिए दोगुना समय की आवश्यकता होती है। सूत्र है:

डबलिंग समय = (ln 2) / k

यह वर्तमान मात्रा की परवाह किए बिना स्थिर है।

हाफ लाइफ

एक्सोनेंशियल क्षय में, आधा जीवन आधा से कम करने के लिए एक मात्रा के लिए आवश्यक समय है। सूत्र है:

half-life = (ln 2)/k

यह वर्तमान मात्रा की परवाह किए बिना स्थिर है, यह परमाणु भौतिकी और पुरातत्व जैसे क्षेत्रों में उपयोगी है।

वैज्ञानिक नोटेशन

वैज्ञानिक नोटेशन बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को कुशलतापूर्वक व्यक्त करने के लिए एक्सोनेंट का उपयोग करता है। वैज्ञानिक नोटेशन में, एक संख्या को x 10 के रूप में लिखा जाता हैⁿ, कहाँ 1 ≤ a< 10 and n is an integer.

उदाहरण:

• 299,792,458 (m/s में प्रकाश की गति) = 2.99792458 × 10⁸
• 0.00000000000000000000000000001602 (कोलंबों में एक इलेक्ट्रॉन का प्रभार) = 1.602 × 10^-19

वैज्ञानिक धारणा वैज्ञानिकों, इंजीनियरों और गणितज्ञों को कुशलतापूर्वक चरम मूल्यों के साथ काम करने की अनुमति देती है।

एक एक्सोनेंट का प्रतिनिधित्व करता है कि कितने बार एक संख्या (आधार) खुद से गुणा है। सामान्य रूप है:

एक एक्सोनेंट की गणना करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. 1
   आधार संख्या और घातक की पहचान करें
2. 2
   आधार संख्या को अपने आप से गुणा करें, समय की संख्या को उजागर करके दर्शाया गया है
3. 3
   नकारात्मक एक्सोनेंट के लिए, सकारात्मक एक्सोनेंट का पारस्परिक लेना
4. 4
   आंशिक एक्सोनेंट के लिए, रूट फंक्शन का उपयोग करें

उदाहरण के लिए, गणना करने के लिए 23: