ऑक्टागन एरिया कैलकुलेटर

ऑक्टागनों का परिचय

The octagon is a fascinating geometric shape with rich mathematical properties and numerous real-world applications. Derived from the Greek words "okto" (eight) and "gonia" (angle), an octagon is an eight-sided polygon that has captured attention throughout history for its symmetry, structure, and aesthetic appeal.

परिभाषा और गुण

एक नियमित ऑक्टागन आठ बराबर पक्षों और आठ बराबर कोणों के साथ एक बहुभुज है। एक नियमित ऑक्टागन के प्रत्येक आंतरिक कोण वास्तव में 135° (के रूप में गणना (8-2) × 180 ° ÷ 8), जबकि प्रत्येक बाहरी कोण 45° मापता है। सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 1080 ° है, भले ही ऑक्टागन का आकार न हो।

सभी नियमित octagons उत्तल बहुभुज हैं, जिसका अर्थ है कि सभी आंतरिक कोण 180 डिग्री से कम हैं और सभी vertices आगे इंगित करते हैं। नियमित ऑक्टागन में समरूपता की उच्च डिग्री उन्हें डिजाइन और निर्माण में विशेष रूप से उपयोगी बनाती है।

गणितीय गुण

ऑक्टागन में कई महत्वपूर्ण गणितीय गुण होते हैं जो इसे अन्य बहुभुजों से अलग करते हैं:

• एक नियमित ऑक्टागन में समरूपता की 8 लाइनें हैं - 4 विपरीत vertices से गुजरती हैं और 4 विपरीत पक्षों के मध्य बिंदुओं से गुजरती हैं।
• इसमें क्रम 8 की घूर्णन समरूपता है, जिसका अर्थ है कि इसे 8 अलग तरीकों से घुमाया जा सकता है और फिर भी वही दिखता है।
• साइड लम्बाई के साथ एक नियमित ऑक्टागन का क्षेत्रफल को सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: A = 2 (1 + √2) × s2.
• परिधि की गणना केवल साइड लंबाई के 8 गुना के रूप में की जाती है।
• एक ऑक्टागन का निर्माण एक वर्ग से ट्रूटिंग (काटना) अपने कोनों से किया जा सकता है।

विकर्ण और आंतरिक मापन

एक नियमित ऑक्टागन में कुल 20 विकर्ण हैं। इन विकर्णों को उनकी लंबाई के आधार पर तीन अलग-अलग प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:

• लघु विकर्ण:बीच में एक vertex के साथ vertices कनेक्ट करें। लंबाई = s × √(2 + √2), जहां s पक्ष की लंबाई है।
• मध्यम विकर्ण:बीच में दो vertices के साथ vertices कनेक्ट। लंबाई = s × (1 + √2)।
• लंबे विकर्ण:विपरीत vertices कनेक्ट। लंबाई = s × √(4 + 25.62)।

ऑक्टागन को एक सर्कल (circumscribed) में भी अंकित किया जा सकता है या इसके भीतर अंकित एक सर्कल हो सकता है। परिक्रमा चक्र (circumradius) की त्रिज्या लंबी विकर्ण की लंबाई आधी है, जबकि अंकित चक्र (inradius) की त्रिज्या मध्यम विकर्ण की लंबाई आधी है।

रियल वर्ल्ड एप्लीकेशन

ऑक्टागन हमारे रोजमर्रा के वातावरण में अक्सर दिखाई देते हैं और विभिन्न व्यावहारिक उद्देश्यों की सेवा करते हैं:

• यातायात संकेत:सार्वभौमिक रूप से मान्यता प्राप्त स्टॉप साइन को एक नियमित ऑक्टागन के रूप में आकार दिया जाता है, जिससे यह तुरंत दूरी से या खराब दृश्यता से पहचाना जा सकता है।
• वास्तुकला:Octagonal structures appear in buildings worldwide, such as the famous "Octagon House" in Washington D.C., gazebos, towers, and cupolas. The octagonal shape allows for increased stability while providing panoramic views.
• फ्लोर टाइलिंग:ऑक्टागन टाइल्स आमतौर पर फर्श डिजाइन में उपयोग किया जाता है, अक्सर बिना अंतराल के दृश्य अपील पैटर्न बनाने के लिए वर्ग टाइलों के साथ संयुक्त होता है।
• कैमरा डिजाइन:कई कैमरा एपर्चर एक अष्टकोणीय डायाफ्राम का उपयोग करते हैं, जो तस्वीरों में बोकेह (बाहर-फोकस क्षेत्रों) को प्रभावित करता है। जब चमकदार प्रकाश स्रोतों की तस्वीरें लेते हैं, तो अष्टकोणीय एपर्चर आठ-पॉइंट स्टार इफेक्ट बनाता है।
• मुद्रा:कुछ सिक्के, जैसे यूके 50 पेंस और 20 पेंस सिक्कों, घुमावदार ऑक्टैगन (Reuleaux heptagons) पर आधारित हैं।

कैसे एक नियमित ऑक्टागन आकर्षित करने के लिए

नियमित ऑक्टागन बनाने के कई तरीके हैं:

1. एक सर्कल से:एक सर्कल खींचें और इसे एक प्रोट्रैक्टर (45° अंतराल) का उपयोग करके आठ बराबर आर्क में विभाजित करें। आसन्न बिंदुओं को सीधे लाइनों से कनेक्ट करें।
2. एक वर्ग से:एक वर्ग खींचो। प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु को चिह्नित करें। वर्ग के प्रत्येक कोने से, केंद्र की ओर 45 डिग्री कोणों पर रेखाएं खींचते हैं जब तक वे मध्य बिंदुओं से लाइनों के साथ छेड़छाड़ नहीं करते।
3. एक कम्पास और स्ट्रेटेज का उपयोग करना:एक सर्कल खींचो। चक्र को चार बराबर भागों में विभाजित करने के लिए दो लंबवत व्यास खींचें। फिर इन हिस्सों में से प्रत्येक को सर्कल पर आठ समकक्ष अंक प्राप्त करने के लिए बिस्कुट करें। सीधे लाइनों के साथ आसन्न बिंदुओं को कनेक्ट करें।

दिलचस्प तथ्य

• इस्लामी कला और वास्तुकला में, आठ-पक्षीय सितारों और ऑक्टैगन ब्रह्मांडीय सद्भाव और आठ परीक्षों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो न्याय के दिन भगवान के सिंहासन का समर्थन करेंगे।
• फेंग शुई में, ऑक्टागन (बा गुआ) अंतरिक्ष की ऊर्जा का विश्लेषण करने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक मूलभूत प्रतीक है।
• यूनाइटेड स्टेट्स पेटेंट एंड ट्रेडमार्क ऑफिस बिल्डिंग इन अलेक्जेंड्रिया, वर्जीनिया, में एक अष्टकोणीय डिजाइन है।
• ऑक्टागन विभिन्न धार्मिक इमारतों में दिखाई देता है, जैसे कि बपतिस्मा फोंट और चर्च टावर्स, अक्सर पुनर्जन्म और पुनरुत्थान का प्रतीक हैं।