Calculatrice de cosinus
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Sommaire
Guide détaillé du cosinus
Introduction à Cosine
La fonction cosine est l'une des fonctions trigonométriques fondamentales avec des applications de grande portée dans les mathématiques, la physique, l'ingénierie et l'informatique. Ce guide complet explore ce qu'est le cosinus, comment il fonctionne et ses applications importantes dans le monde réel.
L'origine de la cosine
The word "cosine" derives from "complementary sine"—originally "sinus complementi"—as it represents the sine of the complementary angle (90° - θ). The concept dates back to ancient civilizations, with early forms appearing in Indian mathematics as early as the 5th century, though the modern notation "cos" wasn't adopted until the 17th century by mathematicians like Leonhard Euler.
Définition mathématique
Dans un triangle à angle droit, la cosine d'un angle est définie comme le rapport du côté adjacent à l'hypoténuse:
cos(γ) = adjacent / hypoténuse
Au-delà des triangles, la cosine peut être définie à travers le cercle de l'unité comme la coordination x d'un point du cercle à l'angle de l'axe X positif, ou à travers son expansion de série infinie:
cos(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ...
Propriétés clés de Cosine
Domaine et portée
- Domaine : Tous les nombres réels
- Gamme: [-1, 1]
Fréquence
- Période: 2 π radians (360°)
- cos(x + 2π) = cos(x)
Propriété unique
- Fonction uniforme : cos(-x) = cos(x)
- Symmétrique de l'axe des y
Dérivés et intégrés
- d/dx(cos x) = -sin x
- ∫ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Cosinus dans le cercle des unités
Le cercle unitaire fournit une visualisation puissante de la fonction cosine. Lorsque nous traçons un point se déplaçant autour du cercle de l'unité, sa coordination x correspond à la cosinus de l'angle formé avec l'axe des x positif. Cette approche révèle pourquoi:
- cos (0°) = 1 (point le plus droit du cercle)
- cos(90°) = 0 (point le plus haut du cercle)
- cos(180°) = -1 (point le plus à gauche du cercle)
- cos(270°) = 0 (point inférieur du cercle)
- cos(360°) = 1 (retour au point le plus droit)
Formules et identités Cosinus importantes
Identité pythagorienne
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
Ajout/soustraction d'angle
cos(α ± β) = cos(α)cos(β) φ sin(α)sin(β)
Formule à double angle
cos(2-) = cos2(-) - sin2(-) = 2cos2(-) - 1 = 1 - 2sin2(-)
Formule demi-angle
Cos(γ/2) = ± √[(1 + cos(γ))/2]
Applications du monde réel
Traitement des signaux
Les fonctions de cosinus sont fondamentales dans l'analyse et le traitement des signaux en électronique, en télécommunications et en génie audio. La transformation de Fourier, qui décompose les signaux en fréquences constituantes, repose fortement sur les fonctions cosinus et sinus.
Physique et mouvement des vagues
Cosine décrit divers phénomènes d'onde, des ondes électromagnétiques aux ondes sonores et aux oscillations. La position d'un objet dans un simple mouvement harmonique peut être exprimée par x(t) = Acos(-), où A est amplitude, - fréquence angulaire et - phase.
Graphiques informatiques
Les matrices de rotation dans les graphiques 2D et 3D utilisent des valeurs de cosinus et de sinus pour transformer les coordonnées. Dans l'animation, les jeux et les simulations, les fonctions cosinus contribuent à créer un mouvement naturel et des effets visuels réalistes.
Navigation et GPS
Le calcul des distances à la surface de la Terre en utilisant les coordonnées de latitude et de longitude implique des calculs de cosinus. La formule haversine, qui détermine la distance grand cercle entre deux points sur une sphère, utilise le cosinus de l'angle central.
Erreurs courantes À propos de Cosine
- Confusion avec du sinus:Bien qu'ils soient apparentés, le cosinus et le sinus représentent des rapports différents dans un triangle et sont décalés de 90° par rapport à l'autre.
- Limité aux angles aigus:La cosine est définie pour tous les angles, pas seulement ceux d'un triangle droit.
- Valeurs non limites:La portée de la fonction cosine est strictement limitée à [-1, 1] ; elle ne dépasse jamais ces limites.
Comment calculer Cosine
Il existe plusieurs méthodes pour calculer les valeurs de cosinus:
- Utilisation de calculatrices :Les calculatrices modernes et les applications informatiques permettent de calculer directement les valeurs de cosinus.
- approximation de la série Taylor:Pour les méthodes de calcul, la représentation infinie de la série peut être tronquée pour obtenir la précision souhaitée.
- Algorithme CORDIC:Les systèmes numériques utilisent souvent l'algorithme CORDIC (Coordinated Rotation Digital Computer) pour des calculs trigonométriques efficaces.
- Tableaux de recherche :Pour les applications nécessitant une vitesse supérieure à la précision, des tables précalculées de valeurs de cosinus peuvent être référencées.
- Utilisation de notre calculatrice :La calculatrice de cette page vous permet de trouver le cosinus de n'importe quel angle rapidement et précisément en degrés et radians.
Conclusion
La fonction cosine est l'un des concepts les plus polyvalents et largement appliqués des mathématiques. De ses origines géométriques dans les mesures triangulaires à ses applications modernes dans le traitement des signaux, la physique et l'informatique, la compréhension du cosinus ouvre la porte à la résolution d'innombrables problèmes pratiques dans plusieurs disciplines. Que vous soyez étudiant, ingénieur, scientifique ou simplement curieux des mathématiques, la fonction cosinus offre un outil puissant pour décrire et analyser les phénomènes périodiques.
Qu'est-ce que Cosine?
La fonction cosine est l'une des fonctions trigonométriques primaires. Dans un triangle droit, la cosine d'un angle est le rapport de la longueur du côté adjacent à la longueur de l'hypoténuse.
Formule de cosinus
La fonction de cosinus peut être calculée à l'aide de la formule suivante:
Valeurs communes de cosinus
Angles spéciaux
- Cos (0°) = 1
- Cos(30°) = 0,8660
- Cos(45°) = 0,7071
- cos(60°) = 0,5
- Cos(90°) = 0
Propriétés
- Gamme: [-1, 1]
- Période: 360° ou 2 π radians
- Fonctions égales: cos(-γ) = cos(γ)
- cos(γ + 360°) = cos(γ)
Demandes présentées par Cosine
PhysiqueMouvement des vagues
Les fonctions Cosine sont utilisées pour modéliser le mouvement des ondes, y compris les ondes sonores, les ondes lumineuses et les ondes d'eau.
GénieTraitement des signaux
Les fonctions de cosinus sont fondamentales dans le traitement des signaux, l'ingénierie électrique et les systèmes de communication.
NavigationGPS et localisation
Les fonctions Cosine sont utilisées dans les systèmes GPS et la navigation pour calculer les distances et les positions.