Calculatrice Arctan
Calculez la tangente inverse (arctan) de n'importe quel nombre réel.
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Sommaire
Guide détaillé d'Arctan
Introduction à Arctan
La fonction arctan (arctangent), également appelée tan-1ou atan, est l'une des fonctions inverses trigonométriques qui joue un rôle crucial dans les mathématiques, la physique, l'ingénierie et divers autres domaines. Ce guide exhaustif explore les propriétés, les applications et la signification mathématique de la fonction arctan.
Définition mathématique
Arctangent est défini comme la fonction inverse de la tangente. Pour tout nombre réel x, l'arctan(x) donne un angle tel que tan(γ) = x, le résultat étant limité à la plage (-π/2, π/2) radians ou (-90°, 90°).
- Domaine: Tous les nombres réels (-----
- Gamme: (-π/2, π/2) radians ou (-90°, 90°)
- arctan est une fonction impair: arctan(-x) = -arctan(x)
- Alors que x approche l'infini, arctan(x) approche π/2 (90°)
- Comme x approche l'infini négatif, arctan(x) approche -π/2 (-90°)
Représentation graphique
Le graphique de y = arctan(x) présente les caractéristiques suivantes:
- Il passe par l'origine (0,0)
- Elle ne cesse d'augmenter
- Il a des asymptotes horizontaux à y = π/2 et y = -π/2 (ou y = 90° et y = -90°)
- Il est symétrique sur l'origine
Identités et relations importantes
| Identité | Formule |
|---|---|
| Formule supplémentaire | arctan(x) + arctan(y) = arctan((x+y)/(1-xy)) si xy< 1 |
| Formule de soustraction | arctan(x) - arctan(y) = arctan((x-y)/(1+xy)) |
| Double angle | Arctique(2x/(1-x2)) |
| Dérivés | d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x2) |
| Intégrale | (x)dx = x·arctan(x) - (1/2)·ln(1+x2) + C |
Applications avancées
1. Ingénierie et physique
En génie et en physique, l'arctan est fréquemment utilisé pour :
- Traitement des signaux pour calculer les angles de phase
- Génie électrique pour analyser l'impédance et la réaction dans les circuits AC
- Mécanique pour calculer les angles en force
- Optique pour déterminer les angles de réfraction et de réflexion
2. Informatique
En informatique graphique et robotique, la fonction atan2(y,x) (variation de l'arctan) est utilisée pour:
- Convertir de Cartésien en coordonnées polaires
- Calculer les angles de rotation pour les objets dans les espaces 2D et 3D
- Déterminer l'orientation et le cap des systèmes de navigation
3. Mathématiques et calcul
Arctan apparaît dans de nombreux contextes mathématiques:
- Techniques d'intégration des fonctions rationnelles
- Extensions et approximations des séries
- Solutions aux équations différentielles
- La célèbre série Gregory-Leibniz : π/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
Calcul numérique Méthodes
La fonction arctan peut être calculée selon différentes méthodes :
Exemples pratiques
Exemple 1: Trouver un angle
Si un triangle droit a des côtés de longueur 3 (en face) et 4 (en face), on peut trouver l'angle en utilisant:
= arctan(en face/en face) = arctan(3/4)
Exemple 2: Navigation
Pour déterminer le roulement entre deux coordonnées GPS (x1, y1) et (x2, y2):
roulement = arctan((y2-y1)/(x2-x1))
Cela donne l'angle relatif au plein est.
Contexte historique
La fonction arctan a été étudiée pendant des siècles. En 1674, James Gregory découvre l'expansion de la série pour l'arctan, qui joue plus tard un rôle crucial dans le calcul de π. La fonction a pris de l'importance dans le calcul et l'ingénierie au fur et à mesure que ces domaines se développaient, notamment avec l'avènement de l'analyse complexe et du traitement des signaux aux XIXe et XXe siècles.
Conclusion
La fonction arctan est un puissant outil mathématique avec de vastes applications dans les sciences, l'ingénierie et les mathématiques. Ses propriétés uniques le rendent inestimable pour résoudre des problèmes impliquant des angles, des coordonnées et des relations trigonométriques. La compréhension de l'arctan est essentielle pour tous ceux qui travaillent dans ces domaines, des ingénieurs qui calculent les décalages de phase aux programmeurs qui mettent en œuvre des algorithmes graphiques informatiques.
Qu'est-ce qu'Arctan?
La fonction arctan (également appelée tangente inverse) est l'inverse de la fonction tangente. Il prend n'importe quel nombre réel et retourne l'angle dont la tangente est cette valeur.
Formule Arctan
La fonction arctan peut être calculée selon la formule suivante:
Valeurs Arctan communes
Valeurs spéciales
- arctan(0) = 0°
- arctan(0,5774) = 30°
- arctan(1) = 45°
- arctan(1.7321) = 60°
- arctan() = 90°
- (-----) = -90°
Propriétés
- Domaine :
- Gamme: (90°, 90°) ou (-π/2, π/2)
- arctan(-x) = -arctan(x)
- pour -90°< θ < 90°
Applications d'Arctan
PhysiqueMotion projectile
Arctan est utilisé pour calculer les angles de lancement et les trajectoires en mouvement projectile.
GénieSystèmes de contrôle
Les fonctions Arctan sont utilisées dans les systèmes de contrôle pour calculer les angles de phase et les réponses du système.
NavigationGPS et localisation
Arctan est utilisé dans les systèmes GPS pour calculer les roulements et les directions.