Calculatrice de fonction d'erreur
Calculer la fonction d'erreur (erf) et la fonction d'erreur complémentaire (erfc) pour tout nombre réel.
Calculer la fonction d'erreur
Sommaire
Guide détaillé des fonctions d'erreur
La fonction d'erreur (erf) est une fonction mathématique spéciale fondamentale avec des implications profondes dans plusieurs disciplines. Introduite au XIXe siècle par des mathématiciens étudiant la théorie des probabilités, elle est devenue depuis un outil essentiel en statistique, physique, ingénierie et mathématiques appliquées.
Définition mathématique et propriétés
La fonction d'erreur est formellement définie comme suit:
Cette intégrale non élémentaire représente la probabilité qu'une variable aléatoire avec distribution normale de la moyenne 0 et de la variance 1/2 tombe dans l'intervalle [-x, x]. La fonction a plusieurs propriétés notables:
- C'est une fonction étrange : erf(-x) = -erf(x)
- Elle a des limites: erf(0) = 0 et erf(-) = 1
- Son dérivé est : (d/dx)erf(x) = (2/ √π)e^(-x2)
- L'expansion de la série Taylor est: erf(x) = (2/ √π)
Relations avec d'autres fonctions
La fonction d'erreur est étroitement liée à plusieurs fonctions mathématiques importantes:
Fonction d'erreur complémentaire
erfc(x) = 1 - erf(x)
Distribution normale CDF
Φ(x) = (1/2)(1 + erf(x/002))
Fonction Q
Q(x) = (1/2)erfc(x/002)
Fonction d'erreur imaginaire
erfi(x) = -ierf(ix)
Calcul numérique
Bien que la fonction d'erreur n'ait pas d'expression de forme fermée en termes de fonctions élémentaires, plusieurs approximations numériques précises existent :
- approximation Abramowitz et Stegun: erf(x) 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) où t = 1/(1+px)
- Augmentation continue de la fraction pour erfc(x)
- Série Taylor pour de petites valeurs de x
- expansion asymptotique pour de grandes valeurs de x
Applications en sciences et en génie
La fonction d'erreur apparaît dans de nombreux champs :
probabilité Théorie
Utilisé pour calculer les probabilités pour les variables aléatoires normalement distribuées et les intervalles de confiance.
Statistiques
Apparaît dans les tests d'hypothèse, la quantification de l'incertitude et l'analyse de régression.
Physique
Utilisé dans les processus de diffusion, la thermodynamique et la mécanique quantique.
Traitement des signaux
Important dans les communications numériques, la détection d'erreurs et les systèmes de correction.
Transfert de chaleur
Les solutions aux équations de chaleur et de diffusion impliquent souvent la fonction d'erreur.
Mathématiques financières
Utilisé dans le modèle Black-Scholes pour la tarification des options et l'évaluation des risques.
Développement historique
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Sujets avancés
Analyse complexe
La fonction d'erreur peut être étendue au plan complexe, créant ainsi la fonction d'erreur complexe. La fonction est entière (holomorphe partout), sans singularités sauf à l'infini.
Intègres itérés
Les intégrations répétées de la fonction d'erreur complémentaire produisent les intégrales itérées ierfc(x), i2erfc(x), etc., qui ont des applications dans des problèmes de diffusion dépendants du temps.
Fonction Faddeeva
La fonction d'erreur complexe est généralement discutée sous sa forme graduée comme la fonction Faddeeva: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), importante en physique de calcul et en spectroscopie.
Le saviez - vous?
L'intégrale de Gaussian dx est étroitement liée à la fonction d'erreur. Bien que la fonction d'erreur n'ait pas de forme fermée élémentaire, cette intégrale définie a une solution de forme fermée élégante qui peut être prouvée par un changement intelligent aux coordonnées polaires.
Qu'est-ce que la fonction Erreur?
La fonction d'erreur (erf) est une fonction spéciale qui apparaît dans les équations de probabilité, de statistique et de différentiel partiel. Elle est définie comme l'intégrale de la fonction gaussienne et est liée à la distribution normale.
- Intégrale de la fonction gaussienne
- En relation avec la distribution normale
- Utilisé en théorie des probabilités
- Important dans les statistiques
Propriétés
Symmétrie
erf(-x) = -erf(x)
Limites
erf(0) = 0, erf(-) = 1
Complémentaire
erfc(x) = 1 - erf(x)
Portée
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Formule de la fonction d'erreur
La fonction d'erreur est définie par l'intégrale suivante:
où:
- x est la valeur d'entrée
- π est pi (environ 3.14159)
- e est le numéro d'Euler (environ 2,71828)
Demandes
probabilitéDistribution normale
Utilisé pour calculer les probabilités dans la distribution normale et pour trouver des intervalles de confiance.
PhysiqueTransfert de chaleur
Utilisé pour résoudre les problèmes de conduction thermique et les équations de diffusion.
GénieTraitement des signaux
Utilisé dans le traitement numérique des signaux et la théorie de la communication.