Calculatrice de sommation
Calculer la somme d'une séquence en utilisant la notation sigma.
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Sommaire
Comprendre la notation de sommation
Introduction à la notation de sommation
La notation de sommation, représentée par la sigma de la lettre grecque, est un puissant raccourci mathématique utilisé pour exprimer l'ajout d'une séquence de nombres ou de termes. La notation condense élégamment ce qui serait autrement des expressions longues, rendant les calculs complexes plus gérables et concis.
Composantes de la notation de sommation
- Le symbole de la sigma- Représente le fonctionnement de la somme
- Variable d'indice (i)- Oui. La variable qui change avec chaque terme
- Limite inférieure (m)- Oui. La valeur de départ de l'indice
- Limite supérieure (n)- Oui. La valeur finale de l'indice
- Fonction ou expression f(i)- Oui. La formule appliquée à chaque valeur de l'indice
Propriétés clés de la sommation
Comprendre ces propriétés aide à simplifier les calculs et à manipuler les additions :
Propriété constante
C = c + c + ... + c = c (n-m+1)
Où c est une constante.
Propriété distributive
(i=m à n) [f(i) + g(i)] =
La somme des fonctions équivaut à la somme de leurs sommes distinctes.
Multiplication scalaire
(i=m à n)
Les constantes peuvent être déduites de la somme.
Changement d'indice
(j=m+k à n+k) f(j-k)
La même somme avec des indices décalés.
Formules de sommation communes
Ces formules standard permettent de gagner du temps lors du calcul de certains types de sommes:
Somme des premiers nombres naturels
(i=1 à n) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Somme des carrés
(i=1 à n) i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Somme des cubes
i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2
Types de séries spéciales
Différents types de séquences conduisent à différentes formules de sommation:
Série arithmétique
Pour une séquence arithmétique avec premier terme a et différence commune d:
[a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (premier terme + dernier terme)
Série géométrique
Pour une séquence géométrique avec premier terme a et rapport commun r:
(i=1 à n) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) pour r=1
Quand< 1, the sum of an infinite geometric series is:
= a/(1-r)
Techniques avancées de sommation
Lorsque vous travaillez avec des synthèses complexes, ces méthodes peuvent être utiles:
Série Télescoping
Une série de télescopages est celle où les termes intermédiaires s'annulent lorsqu'ils sont développés, ne laissant que quelques termes. Par exemple:
(i=1 à n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)
Double somme
Lorsque vous travaillez avec plusieurs indices (comme dans les matrices):
(j=1 à n) a_ij
Demandes de sommation
La notation sommative a des applications très répandues dans les mathématiques et d'autres disciplines:
- Statistiques- Calcul des moyennes, des variances et des écarts types
- Calcul- Riemann sommes pour approximation des intégrales
- Financement- Calculs des intérêts composés et de la valeur actualisée
- Physique- Calcul des forces, énergies ou autres quantités physiques totales
- Informatique- Analyse de l'algorithme et complexité informatique
Formule de sommation
La somme (notation sigma) représente la somme d'une séquence de termes. Il est indiqué par la lettre grecque sigma (-).
Comment calculer la somme
Pour calculer une somme, suivez les étapes suivantes :
-
1Saisissez l'expression en utilisant 'n' comme variable
-
2Spécifiez la valeur de début (liée inférieure)
-
3Spécifiez la valeur finale (en haut)
-
4Calculer la somme de tous les termes du début à la fin
Par exemple, pour trouver la somme de n2 de 1 à 5:
Résumé - Exemples pratiques
Exemple 1Somme des nombres naturels
Calculer la somme des nombres naturels de 1 à 10.
(n=1 à 10) n = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
Exemple 2Somme des carrés
Calculer la somme des carrés de 1 à 5.
(n=1 à 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
Exemple 3Séquence arithmétique
Calculer la somme de la séquence arithmétique 2n + 1 de 1 à 5.
(n=1 à 5) (2n + 1) = (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + ... + (2*5 + 1) = 35