Calculatrice géométrique moyenne
Calculer la moyenne géométrique d'un ensemble de nombres positifs.
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Sommaire
Comprendre la géométrie Moyenne
La moyenne géométrique est un type de moyenne qui représente la tendance centrale d'un ensemble de nombres en utilisant leur produit plutôt que leur somme. Il est particulièrement utile pour les ensembles de données avec des valeurs qui changent par multiplication (comme les taux de croissance) plutôt que par addition.
Qu'est-ce que la moyenne géométrique?
La moyenne géométrique est définie comme la nième racine du produit des nombres n. Contrairement à la moyenne arithmétique (qui ajoute des valeurs et divise par le nombre), la moyenne géométrique multiplie toutes les valeurs ensemble et prend ensuite la racine appropriée.
Propriétés clés de la moyenne géométrique :
- Il est toujours inférieur ou égal à la moyenne arithmétique (l'égalité ne se produit que lorsque toutes les valeurs sont identiques)
- Elle n'est définie que pour les nombres positifs
- Il est moins influencé par les valeurs extrêmes que la moyenne arithmétique
- Si chaque valeur d'un ensemble de données est remplacée par la moyenne géométrique, leur produit reste inchangé
Différences entre la moyenne arithmétique et géométrique
| Aspect | Moyenne arithmétique | Moyenne géométrique |
|---|---|---|
| Formule | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Fonctionnement | Ajout puis division | Multiplication puis racine |
| Meilleur pour | Données linéaires, changements absolus | Données exponentielles, taux de croissance |
| Exemple | Résultats moyens des tests | Rendement moyen des investissements |
Utilisations de la moyenne géométrique
La moyenne géométrique est largement utilisée dans différents domaines:
- Financement :Calcul du rendement moyen des investissements et des taux de croissance annuels composés (TCAC)
- Biologie :Analyser la croissance de la population, les taux de croissance bactérienne et les processus biologiques
- Géométrie:Trouver la longueur latérale d'un carré avec la même surface qu'un rectangle
- Statistiques :Analyse des ensembles de données avec un comportement exponentiel ou des relations proportionnelles
- Économie:Mesure des taux de croissance économique moyens et des indices des prix
Moyenne géométrique en géométrie
En géométrie, la moyenne géométrique a une signification particulière. Pour un triangle droit, si une altitude est tirée de l'angle droit vers l'hypoténuse, la longueur de l'altitude est la moyenne géométrique des segments de l'hypoténuse. Ceci est connu comme le théorème moyen géométrique.
Relations avec d'autres moyens :
Pour tout ensemble de nombres réels positifs, l'inégalité suivante tient :
Moyenne harmonique ≤ moyenne géométrique ≤ moyenne arithmétique
Cette relation est connue sous le nom d'inégalité AM-GM-HM, et l'égalité ne se produit que lorsque toutes les valeurs de l'ensemble sont identiques.
Preuve mathématique de l'inégalité AM-GM
L'inégalité AM-GM indique que la moyenne arithmétique d'un ensemble de nombres réels non négatifs est supérieure ou égale à la moyenne géométrique de ces nombres. Voici une preuve pour deux chiffres:
Pour deux nombres positifs a et b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2 μab
(a + b)/2 ≥ √ab
Ceci prouve que la moyenne arithmétique (a + b)/2 est supérieure ou égale à la moyenne géométrique = ab, avec égalité si et seulement si a = b.
Autres calculs Méthodes
Pour les grands ensembles de données ou nombres à plusieurs chiffres, le calcul de la moyenne géométrique directement peut conduire à des défis de calcul en raison de produits très grands. Une approche alternative utilise des logarithmes:
- Prendre le logarithme de chaque nombre dans l'ensemble de données
- Calculer la moyenne arithmétique de ces logarithmes
- Prenez l'antilogarithme (exposé) de cette moyenne
GM = exp((log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))/n)
Géométrie pondérée Moyenne
Comme la moyenne arithmétique pondérée, nous pouvons calculer une moyenne géométrique pondérée lorsque différentes valeurs ont différents niveaux d'importance:
GM pondéré = (x1^w1 × x2^w2 × ... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn))
Lorsque w1, w2, ..., wn sont les poids attribués à chaque valeur.
Applications avancées
En finances et en économie
La moyenne géométrique est essentielle au calcul du taux de croissance annuel composé (TCAC) des investissements:
TCAC = (valeur finale / valeur initiale)^(1/n) - 1
Où n est le nombre d'années.
Par exemple, si un investissement passe de 1 000 $ à 1 610 $ sur cinq ans, le TCAC est :
TCAC = (1610/1000)^(1/5) - 1 = 1,1^(1/5) - 1 = 0,10 ou 10%
Dans le traitement des images
Le filtre moyen géométrique est utilisé dans le traitement de l'image numérique pour réduire certains types de bruit tout en préservant les caractéristiques des bords, contrairement aux filtres moyens arithmétiques qui tendent à brouiller les bords.
En Acoustique et en Ingénierie Audio
La moyenne géométrique sert à calculer la fréquence centrale des bandes de fréquences audio, en particulier dans les égaliseurs et les outils d'analyse audio.
Fréquence centrale = √(f1 × f2)
Où f1 et f2 sont les limites de fréquence inférieure et supérieure.
Moyenne géométrique en science des données
En science des données et en apprentissage automatique, la moyenne géométrique est utile pour:
- Paramètres de précision normalisés:Lors de la combinaison de plusieurs paramètres de classification
- Méthodes d'ensemble:Combiner les prédictions de modèles multiples
- Échelle des caractéristiques :Normalisation des fonctionnalités avec des relations multiplicatives
- Détection des anomalies:Identification des valeurs aberrantes dans les données multiplicatives
Quand choisir la moyenne géométrique sur la moyenne arithmétique :
- Lorsque vous traitez des pourcentages, des ratios ou des taux
- Lors de l'analyse de la croissance sur plusieurs périodes
- Lorsque les valeurs ont des relations multiplicatives plutôt que des relations additives
- Lorsque des valeurs extrêmes peuvent fausser une moyenne arithmétique
- Lors du calcul des facteurs ou multiplicateurs moyens
Formule moyenne géométrique
La moyenne géométrique est calculée en prenant la nième racine du produit de n nombres. Il est particulièrement utile pour calculer les taux moyens de variation ou de croissance.
Comment calculer la moyenne géométrique
Pour calculer la moyenne géométrique, suivez les étapes suivantes :
-
1Multipliez tous les nombres ensemble
-
2Comptez le nombre de nombres dans votre ensemble de données
-
3Prendre la nième racine du produit
Par exemple, pour trouver la moyenne géométrique de 2, 4, 8:
Moyenne géométrique - Exemples pratiques
Exemple 1Rendement des investissements
Un investissement augmente de 10%, 20% et 15% sur trois ans. Quel est le taux de croissance annuel moyen?
Moyenne géométrique = (1.10 × 1.20 × 1.15)^(1/3) = 1.1487 = 14.87%
Exemple 2Croissance démographique
Une population passe de 1000 à 1500 sur 5 ans. Quel est le taux de croissance annuel moyen?
Taux de croissance = (1500/1000)^(1/5) = 1,0845 = 8,45 %
Exemple 3Dimensions du rectangle
Un rectangle a des côtés de 4 et 9. Quelle est la longueur latérale d'un carré avec la même zone?
Moyenne géométrique = √(4 × 9) = √36 = 6