Calculatrice de zone octagonique

Introduction aux octagones

The octagon is a fascinating geometric shape with rich mathematical properties and numerous real-world applications. Derived from the Greek words "okto" (eight) and "gonia" (angle), an octagon is an eight-sided polygon that has captured attention throughout history for its symmetry, structure, and aesthetic appeal.

Définition et propriétés

Un octogone régulier est un polygone avec huit côtés égaux et huit angles égaux. Chaque angle intérieur d'un octogone régulier mesure exactement 135° (calculé comme (8-2) × 180° ÷ 8), tandis que chaque angle extérieur mesure 45°. La somme de tous les angles intérieurs est toujours de 1080°, indépendamment de la taille de l'octogone.

Tous les octogones réguliers sont des polygones convexes, ce qui signifie que tous les angles intérieurs sont inférieurs à 180° et tous les sommets pointent vers l'extérieur. Le degré élevé de symétrie des octogones réguliers les rend particulièrement utiles dans la conception et la construction.

Propriétés mathématiques

L'octogone possède plusieurs propriétés mathématiques importantes qui le distinguent des autres polygones:

• Un octogone régulier a 8 lignes de symétrie - 4 passant par des sommets opposés et 4 passant par les points médians des côtés opposés.
• Il a la symétrie rotationnelle de l'ordre 8, ce qui signifie qu'il peut être tourné de 8 façons différentes et toujours regarder la même.
• La surface d'un octogone normal avec la longueur latérale 's' peut être calculée à l'aide de la formule : A = 2(1 + √2) × s2.
• Le périmètre est simplement calculé comme 8 fois la longueur latérale.
• Un octogone peut être construit à partir d'un carré en coupant ses coins.

Diagonales et mesures internes

Un octogone régulier a 20 diagonales au total. Ces diagonales peuvent être classées en trois types distincts selon leur longueur:

• Diagonales courtes:Connectez les sommets avec un vertex entre les deux. Longueur = s × √(2 + √2), où s est la longueur latérale.
• Diagonales moyennes:Connectez les sommets avec deux sommets entre les deux. Longueur = s × (1 + √2).
• Diagonales longues:Connectez les sommets opposés. Longueur = s × √(4 + 2 √2).

L'octogone peut également être inscrit dans un cercle (circonclus) ou avoir un cercle inscrit à l'intérieur. Le rayon du cercle circonscrit (circumradius) est la moitié de la longueur de la diagonale longue, tandis que le rayon du cercle inscrit (inradius) est la moitié de la longueur de la diagonale moyenne.

Applications du monde réel

Les octagones apparaissent fréquemment dans notre environnement quotidien et servent diverses finalités pratiques :

• Signalisation de circulation:Le signal d'arrêt universellement reconnu est en forme d'octogone régulier, le rendant immédiatement identifiable même à distance ou en mauvaise visibilité.
• Architecture :Octagonal structures appear in buildings worldwide, such as the famous "Octagon House" in Washington D.C., gazebos, towers, and cupolas. The octagonal shape allows for increased stability while providing panoramic views.
• Revêtement du sol:Les tuiles octagones sont couramment utilisées dans les conceptions de plancher, souvent combinées avec des tuiles carrées pour créer des motifs attrayants visuellement sans trous.
• Conception de la caméra:De nombreuses ouvertures de la caméra utilisent un diaphragme octogonal, qui affecte le bokeh (zones non ciblées) dans les photographies. Lorsque vous photographiez des sources lumineuses, l'ouverture octogonale crée un effet d'étoile à huit points.
• Monnaie :Certaines pièces, comme celles du Royaume-Uni à 50 pence et à 20 pence, sont basées sur des octogones incurvés (Reuleaux heptagons).

Comment dessiner un octagon régulier

Il existe plusieurs méthodes pour construire un octogone régulier:

1. D'un cercle :Dessiner un cercle et le diviser en huit arcs égaux à l'aide d'un protracteur (intervalles de 45°). Connectez les points adjacents à des lignes droites.
2. D'un carré:Dessine un carré. Marquez le point médian de chaque côté. De chaque coin de la place, tracer des lignes à 45° angles vers le centre jusqu'à ce qu'elles se croisent avec les lignes à partir des points médians.
3. Utilisation d'un compas et d'une ligne droite :Dessine un cercle. Dessiner deux diamètres perpendiculaires pour diviser le cercle en quatre parties égales. Puis bisect chacune de ces parties pour obtenir huit points équidistants sur le cercle. Connectez les points adjacents aux lignes droites.

Faits intéressants

• Dans l'art et l'architecture islamiques, les étoiles et octogones à huit côtés représentent l'harmonie cosmique et les huit anges qui soutiendront le trône de Dieu au Jour du Jugement.
• Au feng shui, l'octogone (ba gua) est un symbole fondamental utilisé pour analyser l'énergie des espaces.
• Le bâtiment de l'Office des brevets et des marques des États-Unis à Alexandrie, en Virginie, présente un dessin octogonal.
• L'octogone apparaît dans divers édifices religieux, comme les fonts baptismaux et les tours d'église, symbolisant souvent la régénération et la résurrection.