Калькулятор Tangent
Вычислите касательное любого угла в градусах или радианах.
Войдите в свой угол
Таблица содержимого
Полное руководство по тангентным функциям
Введение в Tangent
Тангенсная функция является фундаментальной концепцией в тригонометрии с широким применением в математике, физике, технике и других научных областях. Исторически сложилось так, что он возник наряду с другими тригонометрическими функциями, поскольку математики работали над решением проблем в астрономии, навигации и землеустройстве.
Математическое определение
Тангенс угла θ, записанного как tan(θ), может быть определен несколькими эквивалентными способами:
- Правильное определение треугольника:Отношение длины противоположной стороны к длине прилегающей стороны в правом треугольнике.
- Определение круга единицы:Для точки (x,y) на единичной окружности, соответствующей углу θ, tan(θ) = y/x (при условии x ≠ 0).
- Связь с синей и косиной:tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) (предоставляется cos(θ) ≠ 0).
Ключевые свойства тангентной функции
Домен и диапазон
- Домен:Все действительные числа, кроме x = (2n+1)π/2, где n — целое число
- Диапазон:Все реальные числа (-∞, ∞)
- Период:π радианов (180°)
Функциональное поведение
- Функция Odd:tan(-θ) = -tan(θ)
- Вертикальные асимптоты:При x = (2n+1)π/2 (нечетные кратные π/2)
- Периодичность:tan(θ + π) = tan(θ)
Тангенс-граф и поведение
График y = tan(x) имеет несколько отличительных особенностей:
- Вертикальные асимптоты возникают при x = π/2 + nπ, где n — целое число
- Функция пересекает ось x при x = nπ, где n — целое число
- Между любыми двумя последовательными асимптотами тангенсная функция непрерывно увеличивается от -∞ до +∞
- Тангенсная кривая повторяет каждый π радиан (180°)
Важные тангентные идентичности
tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
1 + tan²(θ) = sec²(θ)
tan(A + B) = [tan(A) + tan(B)]/[1 - tan(A)tan(B)]
tan(A - B) = [tan(A) - tan(B)]/[1 + tan(A)tan(B)]
tan(2θ) = 2tan(θ)/[1 - tan2(θ)]
Общие точные тангентные значения
| Угол (степени) | Угол (радианы) | Тангенсная ценность | Точная форма |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 0 |
| 30° | π/6 | 0.5774 | 1/√3 = √3/3 |
| 45° | π/4 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | 1.7321 | √3 |
| 90° | π/2 | неопределенный | неопределенный |
Применение в различных областях
Математика и исчисление
- Аналитическая геометрия для нахождения наклонов линий
- Формулы интеграции и дифференциации
- Серия расширений и приближений
- Представления комплексных чисел
Физика и инженерия
- Волновое движение и колебания
- Оптика и светопреломление
- Электрические цепи (фазовые отношения)
- Звук и акустика
Навигация и астрономия
- Определение высот и расстояний
- GPS системы и позиционирование
- Небесная навигация
- Картографирование и съемка
Архитектура и дизайн
- Расчет склонов и углов крыши
- Расчеты наклона лестницы и рампы
- Теневые проекции и углы солнца
- Анализ структурной нагрузки
Решение проблем с тангентом
Тангенсная функция особенно полезна в этих распространенных сценариях:
- Поиск неизвестных сторон:Когда вы знаете угол и одну сторону правого треугольника, касание может помочь определить другие стороны.
- Поиск неизвестных углов:Когда вы знаете две стороны правого треугольника, обратный тангенс (тан-1 или арктан) может найти угол.
- Расчет склонов:Тангенс угла, который линия делает с положительной осью x, равен наклону этой линии.
- Косвенное измерение высоты:Использование угла возвышения и известного расстояния для расчета высоты высоких конструкций.
Лестница прислоняется к стене под углом 70° к земле. Если подножие лестницы находится в 2 метрах от стены, то насколько высоко она поднимается?
Решение:
Использование тангенса: высота = 2 × тан (70°) = 2 × 2,7475 = 5,495 метров
Что такое тангенс?
Тангенсная функция является одной из основных тригонометрических функций. В правом треугольнике касательной угла является отношение длины противоположной стороны к длине соседней стороны.
Тангентная формула
Тангенсную функцию можно рассчитать по следующей формуле:
Общий тангенс ценности
Особые углы
- tan(0°) = 0
- Загар (30°) = 0,5774
- тан (45°) = 1
- Загар (60°) = 1,7321
- Загар (90°) = неопределенный
Свойства
- Диапазон: (-∞, ∞)
- Период: 180° или π радианов
- Нечетная функция: tan(-θ) = -tan(θ)
- tan(θ + 180°) = tan(θ)
Применение тангента
физикаВолновое движение
Тангентные функции используются для моделирования волнового движения, включая звуковые волны, световые волны и волны воды.
Инженерное делоОбработка сигналов
Тангентные функции являются фундаментальными в системах обработки сигналов, электротехники и связи.
НавигацияGPS и местоположение
Тангентные функции используются в системах GPS и навигации для расчета расстояний и позиций.