Функция ошибки калькулятор
Вычислите функцию ошибки (erf) и функцию дополнительной ошибки (erfc) для любого реального числа.
Расчет функции ошибки
Таблица содержимого
Полное руководство по функциям ошибок
Функция ошибки (erf) является фундаментальной математической специальной функцией с глубокими последствиями в нескольких дисциплинах. Введенный в 19 веке математиками, изучающими теорию вероятностей, он с тех пор стал важным инструментом в статистике, физике, технике и прикладной математике.
Математические определения и свойства
Функция ошибки формально определяется как:
Этот неэлементарный интеграл представляет собой вероятность того, что случайная переменная с нормальным распределением среднего 0 и дисперсией 1/2 попадает в диапазон [-x, x]. Функция имеет несколько заметных свойств:
- Это нечетная функция: erf(-x) = -erf(x)
- Имеет пределы: erf(0) = 0 и erf(∞) = 1
- Его производная: (d/dx)erf(x) = (2/√π)e^(-x2)
- Его расширение серии Тейлора: erf(x) = (2/√π) Σ(n=0)^∞(-1)^n·x^(2n+1))/(2n+1)·n
Взаимосвязь с другими функциями
Функция ошибки тесно связана с несколькими важными математическими функциями:
Дополнительные функции ошибок
erfc(x) = 1 - erf(x)
Нормальное распределение CDF
)(x) = (1/2)(1 + erf(x/√2))
Q-функция
Q(x) = (1/2)erfc(x/√2)
Воображаемая функция ошибки
erfi(x) = -i·erf(ix)
Численные вычисления
В то время как функция ошибок не имеет замкнутого выражения в терминах элементарных функций, существует несколько точных числовых приближений:
- Абрамовиц и Стегун приближение: erf(x) ≈ 1 - (a1t + a2t2 + a3t3)e^(-x2) где t = 1/(1+px)
- Продолжение расширения фракции для erfc(x)
- Серия Тейлора для малых значений x
- Асимптотическое расширение для больших значений x
Приложения в науке и технике
Функция ошибки появляется во многих областях:
Вероятность Теория
Используется при расчете вероятностей для нормально распределенных случайных величин и доверительных интервалов.
Статистика
Появляется в тестировании гипотез, количественной оценке неопределенности и регрессионном анализе.
физика
Используется в диффузионных процессах, термодинамике и квантовой механике.
Обработка сигналов
Важное значение в цифровых коммуникациях, системах обнаружения ошибок и коррекции.
Передача тепла
Решения для уравнений нагрева и диффузии часто включают функцию ошибки.
Финансовая математика
Используется в модели Black-Scholes для ценообразования опционов и оценки рисков.
историческое развитие
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Продвинутые темы
Комплексный анализ
Функция ошибки может быть расширена до комплексной плоскости, создавая сложную функцию ошибки. Функция полная (голоморфная везде), без сингулярностей, кроме бесконечности.
Итерационные интегралы
Повторные интеграции комплементарной функции ошибок создают итерируемые интегралы ierfc(x), i2erfc(x) и т.д., которые имеют приложения в зависящих от времени задачах диффузии.
Фаддеева функция
Функция комплексной ошибки обычно обсуждается в ее масштабированной форме как функция Фаддеева: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), важная в вычислительной физике и спектроскопии.
Ты знал?
Гауссовский интеграл .(−∞)^∞ e^(-x2) dx = √π тесно связан с функцией ошибки. Хотя функция ошибки не имеет элементарной замкнутой формы, этот определенный интеграл имеет элегантное решение замкнутой формы, которое может быть доказано с помощью умного изменения полярных координат.
Что такое функция ошибки?
Функция ошибок (erf) — это специальная функция, которая появляется в вероятностях, статистике и дифференциальных уравнениях. Она определяется как интеграл гауссовой функции и связана с нормальным распределением.
- Интегральная функция Гаусса
- Связано с нормальным распределением
- Используется в теории вероятностей
- Важный в статистике
Свойства
симметрия
erf(-x) = -erf(x)
пределы
erf(0) = 0, erf(∞) = 1
дополняющий
erfc(x) = 1 - erf(x)
диапазон
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Формула функции ошибки
Функция ошибки определяется следующим интегралом:
Где:
- x - входное значение
- π — pi (приблизительно 3.14159)
- e - число Эйлера (приблизительно 2.71828)
Приложения
ВероятностьНормальное распределение
Используется для вычисления вероятностей в нормальном распределении и поиска доверительных интервалов.
физикаПередача тепла
Используется при решении задач теплопроводности и диффузионных уравнений.
Инженерное делоОбработка сигналов
Используется в теории цифровой обработки сигналов и связи.