Гармонический средний калькулятор

Что такое гармонический смысл?

Гармоническое среднее является одним из трех пифагорейских средств, наряду с арифметическим средним и геометрическим средним. Оно определяется как взаимное среднее арифметического числа ответов набора положительных чисел.

В то время как среднее арифметическое придает равное значение каждому значению, среднее гармоническое придает равное значение каждой единице стоимости. Это делает его особенно полезным для усреднения ставок и коэффициентов.

Математическое определение

Для набора положительных чисел x1, x2, ..., xn гармоническое среднее (HM) рассчитывается как:

Специальный случай: Гармоническое значение двух чисел

Для двух чисел a и b гармоническое среднее может быть упрощено до:

Отношения с другими средствами

Для данного набора положительных чисел (с хотя бы одной парой неравных значений) три пифагорейских средства всегда следуют этому неравенству:

Для двух положительных чисел эти средства связаны:

Свойства гармонических средств

• Гармоническое среднее всегда меньше или равно геометрическому среднему
• Гармоническое среднее сильно зависит от небольших значений в наборе данных
• Все значения должны быть положительными (ненулевыми) для расчета гармонического среднего значения
• Если все значения равны, то гармоническое среднее равно арифметическому среднему и геометрическому среднему
• Гармоническое среднее — это взаимное среднее арифметического из взаимных

Применение гармонических средств

Гармоническое среднее имеет множество практических применений в различных областях:

1. Расчет средней скорости:При движении на одном и том же расстоянии с разной скоростью средняя скорость является гармоничным средним значением этих скоростей.
2. Электротехника:Вычисление эквивалентного сопротивления резисторов, подключенных параллельно.
3. Физика:Определение средней плотности и других физических свойств.
4. Финансы:Вычисление средних мультипликаторов, таких как соотношение цена/прибыль (P/E).
5. Машинное обучение:Вычисление оценки F1 (гармоническое среднее значение точности и отзыва) в задачах классификации.
6. Гидрология:Усреднение значений гидравлической проводимости для потока перпендикулярно слоям.

Исторический контекст

The concept of harmonic mean dates back to ancient mathematics. The term "harmonic" comes from the field of music, where the harmonic mean was used to describe musical intervals. The Pythagoreans discovered that if a string is divided in the ratio a:b, the note produced is a harmonic mean of the notes produced by strings of lengths a and b.

Гармонические числа

Связанным понятием является гармоническое число, обозначаемое как H(n), которое является суммой взаимных первых n натуральных чисел:

Гармоническое число связано с гармоническим средним первых n положительных целых чисел:

Это соотношение показывает, что гармоническое среднее первых n положительных целых чисел n делится на n-е гармоническое число.

Гармоническое среднее вычисляется как взаимное среднее арифметического взаимных чисел. Это особенно полезно для расчета средних ставок, особенно при работе с темпами изменений.

Чтобы рассчитать гармоническое среднее, выполните следующие шаги:

1. 1
   Возьмем взаимность каждого числа (1/x)
2. 2
   Найдите среднее арифметическое этих ответов
3. 3
   Возьмем взаимность результата

Например, чтобы найти гармоническое значение 2, 4, 8: