Геометрический средний калькулятор
Вычислите геометрическое среднее из набора положительных чисел.
Введите свои номера
Таблица содержимого
Понимание геометрии Значение
Геометрическое среднее представляет собой тип среднего, который представляет центральную тенденцию набора чисел, используя их продукт, а не их сумму. Это особенно полезно для наборов данных со значениями, которые изменяются путем умножения (например, темпы роста), а не путем сложения.
Что такое геометрический смысл?
Геометрическое среднее определяется как n-й корень произведения n чисел. В отличие от арифметического среднего (которое добавляет значения и делится на счет), геометрическое среднее умножает все значения вместе, а затем берет соответствующий корень.
Ключевые свойства геометрического средства:
- Она всегда меньше или равна среднему арифметическому (равенство возникает только тогда, когда все значения идентичны)
- Он определяется только для положительных чисел
- На него меньше влияют экстремальные значения, чем среднее арифметическое
- Если каждое значение в наборе данных заменяется геометрическим средним, их продукт остается неизменным
Различия между арифметическим и геометрическим значением
| Аспект | Арифметическое значение | Геометрическое значение |
|---|---|---|
| Формула | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Операция | Добавление затем деление | Умножение на корень |
| Лучшее для | Линейные данные, абсолютные изменения | Экспоненциальные данные, темпы роста |
| Пример | Средние результаты тестов | Средняя доходность инвестиций |
Применение геометрических средств
Геометрическое среднее широко используется в различных областях:
- Финансы:Расчет средней доходности инвестиций и совокупных годовых темпов роста (CAGR)
- Биология:Анализ роста населения, темпов роста бактерий и биологических процессов
- Геометрия:Нахождение длины стороны квадрата с той же площадью, что и прямоугольник
- Статистика:Анализ наборов данных с экспоненциальным поведением или пропорциональной зависимостью
- Экономика:Измерение средних темпов экономического роста и индексов цен
Геометрическое значение в геометрии
В геометрии геометрическое среднее имеет особое значение. Для правого треугольника, если высота нарисована под прямым углом к гипотенузе, длина высоты является геометрическим средним сегментов гипотенузы. Это называется геометрической средней теоремой.
Отношения с другими средствами:
Для любого набора положительных действительных чисел существует следующее неравенство:
Гармоническое значение ≤ геометрическое значение ≤ арифметическое значение
Эта взаимосвязь известна как неравенство AM-GM-HM, и равенство возникает только тогда, когда все значения в наборе идентичны.
Математические доказательства неравенства AM-GM
Неравенство АМ-ГМ утверждает, что среднее арифметическое множества неотрицательных действительных чисел больше или равно среднему геометрическому из этих чисел. Вот доказательство для двух чисел:
Для любых двух положительных чисел a и b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2√ab
(a + b)/2 ≥ √ab
Это доказывает, что среднее арифметическое (a + b)/2 больше или равно среднему геометрическому √ab, с равенством если и только если a = b.
Альтернативный расчет Методы
Для больших наборов данных или чисел с множеством цифр вычисление геометрического среднего напрямую может привести к вычислительным проблемам из-за очень больших продуктов. Альтернативный подход использует логарифмы:
- Возьмите логарифм каждого числа в наборе данных
- Рассчитайте среднее арифметическое этих логарифмов
- Возьмем антилогарифм (экспоненциацию) этого значения
GM = exp((log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))/n)
Весовой геометрический Значение
Подобно средневзвешенной арифметике, мы можем рассчитать средневзвешенную геометрическую величину, когда разные значения имеют разные уровни важности:
Вес GM = (x1^w1 × x2^w2 ×... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn))
где w1, w2, ..., wn - веса, присваиваемые каждому значению.
Передовые приложения
В области финансов и экономики
Геометрическое среднее необходимо для расчета совокупного годового темпа роста инвестиций (CAGR):
CAGR = (Final Value / Initial Value)^(1/n) - 1
где n - количество лет.
Например, если за 5 лет инвестиции вырастут с $1000 до $1610, CAGR:
CAGR = (1610/1000)^(1/5) - 1 = 1.1^(1/5) - 1 = 0,10 или 10%
В обработке изображений
Геометрический средний фильтр используется в цифровой обработке изображений для уменьшения определенных типов шума при сохранении особенностей края, в отличие от среднеарифметических фильтров, которые имеют тенденцию размываться краями.
В акустике и аудиотехнике
Геометрическое среднее используется для вычисления центральной частоты полос звуковых частот, особенно в эквалайзерах и инструментах аудиоанализа.
Частота центра = √(f1 × f2)
где f1 и f2 - нижняя и верхняя границы частоты.
Геометрическое значение в науке о данных
В науке о данных и машинном обучении геометрическое среднее ценно для:
- Нормализованные показатели точности:При объединении нескольких метрик классификации
- Методы ансамбля:Сочетание прогнозов из нескольких моделей
- Особенности масштабирования:Нормализация особенностей с мультипликативными отношениями
- Выявление аномалий:Идентификация выбросов в мультипликативных данных
Когда выбрать геометрическое значение вместо арифметического:
- При работе с процентами, коэффициентами или ставками
- При анализе роста за несколько периодов
- Когда ценности имеют мультипликативные отношения, а не аддитивные
- Когда крайние значения могут исказить среднее арифметическое
- При расчете средних коэффициентов или множителей
Средняя геометрическая формула
Геометрическое среднее рассчитывается путем взятия n-го корня из продукта n чисел. Это особенно полезно для расчета средних темпов изменений или темпов роста.
Как рассчитать геометрический смысл
Чтобы рассчитать геометрическое среднее, выполните следующие шаги:
-
1Умножьте все числа вместе
-
2Подсчитайте, сколько чисел в вашем наборе данных
-
3Взять n-й корень продукта
Например, чтобы найти геометрическое среднее из 2, 4, 8:
Геометрическое значение - практические примеры
Пример 1Инвестиционная прибыль
Инвестиции выросли на 10%, 20%, и 15% более трех лет. Каковы среднегодовые темпы роста?
Геометрическое значение = (1,10 × 1,20 × 1,15)^(1/3) = 1,1487 = 14,87%
Пример 2Рост населения
Население растет от 1000 до 1500 в течение 5 лет. Каковы среднегодовые темпы роста?
Темп роста = (1500/1000)^(1/5) = 1,0845 = 8,45%
Пример 3Прямоугольные измерения
Прямоугольник имеет стороны 4 и 9. Какова длина квадрата с той же площадью?
Геометрическое значение = √ (4 × 9) = √36 = 6