Calculadora Arctan
Calcular a tangente inversa (arctan) de qualquer número real.
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Sumário
Guia abrangente para Arctan
Introdução ao Arctan
A função arctante, também denotada como bronzeada-1ou atan, é uma das funções trigonométricas inversas que desempenha um papel crucial na matemática, física, engenharia e vários outros campos. Este guia abrangente explora as propriedades, aplicações e significado matemático da função arctan.
Definição Matemática
Arctante é definida como a função inversa da tangente. Para qualquer número real x, arctan(x) dá o ângulo Δ de tal forma que tan(ω) = x, com o resultado restringido ao intervalo (-π/2, π/2) radianos ou (-90°, 90°).
- Domínio: Todos os números reais (-., .)
- Gama: (-π/2, π/2) radianos ou (-90°, 90°)
- arctan é uma função ímpar: arctan(- x) = - arctan( x)
- À medida que x se aproxima do infinito, arctan(x) aproxima-se π/2 (90°)
- À medida que x se aproxima do infinito negativo, arctan(x) aproxima-se -π/2 (-90°)
A Representação gráfica
O gráfico de y = arctan(x) tem as seguintes características:
- Passa pela origem (0,0)
- Está a aumentar continuamente
- Tem assíntotas horizontais em y = π/2 e y = -π/2 (ou y = 90° e y = -90°)
- É simétrico sobre a origem
Identidades e Relações Importantes
| Identidade | Fórmula |
|---|---|
| Fórmula de adição | arctan( x) + arctan( y) = arctan( (x+y)/ (1- xy)) se xy< 1 |
| Fórmula de Subtração | arctan( x) - arctan( y) = arctan(( x- y)/(1+xy)) |
| Ângulo duplo | arctan( 2x/ (1- x2)) |
| Derivado | d/dx[arctan(x)] = 1/(1+x2) |
| Integral | ∫arctan(x)dx = x·arctan(x) - (1/2)·ln(1+x2) + C |
Aplicações Avançadas
1. Engenharia e Física
Em engenharia e física, o arctan é frequentemente utilizado para:
- Processamento de sinais para calcular ângulos de fase
- Engenharia elétrica para analisar impedância e reatância em circuitos CA
- Mecânica para calcular ângulos em diagramas de força
- Óptica para determinar ângulos de refração e reflexão
2. Ciência da Computação
Em computação gráfica e robótica, a função atan2(y,x) (uma variação de arctan) é usada para:
- Converter de cartesiano para coordenadas polares
- Calcular ângulos de rotação para objetos em espaços 2D e 3D
- Determinar orientação e orientação em sistemas de navegação
3. Matemática e Cálculo
Arctan aparece em muitos contextos matemáticos:
- Técnicas de integração para funções racionais
- Expansões e aproximações de séries
- Soluções para equações diferenciais
- A famosa série Gregory-Leibniz: π/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
Cálculo numérico Métodos
A função arctan pode ser calculada usando vários métodos:
Exemplos práticos
Exemplo 1: Encontrar um Ângulo
Se um triângulo retângulo tem lados de comprimento 3 (oposto) e 4 (ao lado), o ângulo Δ pode ser encontrado usando:
Δ = arctano(oposto/adjacente) = arctano(3/4)
Exemplo 2: Navegação
Para determinar o rolamento entre duas coordenadas GPS (x1,y1) e (x2,y2):
rolamento = arco((y2-y1)/(x2-x1))
Isto dá o ângulo relativo ao leste.
Contexto Histórico
A função arctan tem sido estudada por séculos. Em 1674, James Gregory descobriu a expansão da série para arctan, que mais tarde desempenhou um papel crucial no cálculo de π. A função ganhou importância em cálculo e engenharia à medida que estes campos se desenvolveram, particularmente com o advento de análises complexas e processamento de sinais nos séculos XIX e XX.
Conclusão
A função arctan é uma poderosa ferramenta matemática com amplas aplicações em ciência, engenharia e matemática. Suas propriedades únicas o tornam inestimável para resolver problemas envolvendo ângulos, coordenadas e relações trigonométricas. Compreender o Arctan é essencial para qualquer pessoa que trabalhe nesses campos, desde engenheiros calculando mudanças de fase até programadores implementando algoritmos de computação gráfica.
O que é o Arctan?
A função arctan (também conhecida como tangente inversa) é o inverso da função tangente. É preciso qualquer número real e retorna o ângulo cuja tangente é esse valor.
Fórmula Arctan
A função arctan pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula:
Valores comuns do Arco
Valores Especiais
- arctan(0) = 0°
- arctan( 0,5774) = 30°
- arctan(1) = 45°
- arctan(1.7321) = 60°
- arctan( .) = 90°
- arctan(- ) = -90°
Propriedades
- Domínio
- Gama: (-90°, 90°) ou (-π/2, π/2)
- arctan(- x) = - arctan( x)
- arctan(tan(λ)) = Δ para -90°< θ < 90°
Aplicações de Arctan
FísicaMovimento Projéctil
Arctan é usado para calcular ângulos de lançamento e trajetórias em movimento projétil.
EngenhariaSistemas de controlo
As funções de Arctan são usadas em sistemas de controle para calcular ângulos de fase e respostas do sistema.
NavegaçãoGPS e Localização
Arctan é usada em sistemas GPS para calcular rolamentos e direções.