Calculadora Arccot
Calcular o cotangente inverso (arccot) de qualquer número real.
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Sumário
Guia abrangente para o Cotangente Inverso
Introdução ao Arccot
A função inversa cotangente, denotada como arccot(x) ou berço-1(x), is a fundamental mathematical operation that "reverses" the cotangent function. When we apply the cotangent function to an angle, we get a ratio; when we apply the inverse cotangent to that ratio, we get back the original angle.
Definição e notação
Se y = berço(ω), em seguida, Δ = arco(y)
Em notação matemática: Se cot(ω) = x, então arccot(x) =
Propriedades Matemáticas
Domínio e Intervalo
- Domínio: Todos os números reais
- Intervalo: (0, π) ou (0°, 180°)
- Valor principal: Convenção utilizada para garantir que a função é bem definida
Relações-chave
- arccot( x) = arctan( 1/ x) para x = 0
- arccot(- x) = π - arccot( x)
- arccot(0) = π/2 (90°)
Propriedades do Cálculo
Derivado
d/dx[arccot(x)] = -1/(1+x2)
O sinal negativo é importante e o distingue da derivada do arctan.
Integral
∫ arccot(x) dx = x·arccot(x) + (1/2)·ln(1+x2) + C
Onde C é a constante da integração.
Expansão da Série
Para o x > 1, a função arccot pode ser representada como uma série infinita:
arccot( x) = π/2 - x-1 + (1/3)x-3 - (1/5)x-5 + (1/7)x-7 - ...
Aplicações Avançadas
Análise complexa
Na análise complexa, o arcote estende-se ao plano complexo com cortes de ramos ao longo do eixo imaginário entre -i e i.
Sistemas de controlo
Cotangente inverso aparece em cálculos de fase para análise de resposta de frequência na engenharia de sistemas de controle.
Processamento de Sinais
A função é usada em algoritmos para extração de fases de sinais complexos e em técnicas de desembrulhamento de fases.
Técnicas Computacionais
Existem vários métodos para calcular numericamente a função arccot:
- Usando o arctan:arccot( x) = arctan( 1/ x) para x > 0, e arccot( x) = arctan( 1/ x) + π para x< 0
- Expansão da série:Para os valores onde o x é grande, a aproximação da série é eficiente
- Algoritmo CORDIC:Uma abordagem eficiente em hardware usando apenas adição, subtração e deslocamento de bits
Nota histórica
As funções trigonométricas inversas, incluindo o arcote, têm sido estudadas desde o início do desenvolvimento do cálculo. Leonhard Euler contribuiu significativamente para sua compreensão no século 18, estabelecendo muitas das relações que ainda usamos hoje.
Visualizando o Arccot
O gráfico de y = arccot( x) mostra:
- Uma função decrescente em todo o seu domínio
- À medida que x se aproxima do infinito negativo, y se aproxima π (180°)
- Como x se aproxima do infinito positivo, y se aproxima de 0
- A x = 0, arccot(0) = π/2 (90°)
Compreender a função do arcote equipa completamente matemáticos, engenheiros e cientistas com uma poderosa ferramenta para resolver problemas em várias disciplinas, desde matemática pura até aplicações práticas em engenharia e física.
O que é o Arccot?
A função arccot (também conhecida como cotangente inversa) é o inverso da função cotangente. É preciso qualquer número real e retorna o ângulo cujo cotangente é esse valor.
Fórmula Arccot
A função arccot pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula:
Valores comuns do Arcote
Valores Especiais
- arccot(0) = 90°
- arccot(1.7321) = 30°
- arccot(1) = 45°
- arccot(0,5774) = 60°
- arccot( o) = 0°
- arccot(-) = 180°
Propriedades
- Domínio
- Intervalo: (0°, 180°) ou (0, π)
- arccot(-x) = 180° - arccot(x)
- arccot(cot(λ)) = Δ para 0°< θ < 180°
Aplicações do Arccot
FísicaAnálise de ondas
Arccot é usado na análise de ondas para determinar ângulos de fase e propriedades de onda.
EngenhariaSistemas de controlo
As funções Arccot são usadas em sistemas de controle para calcular ângulos de fase e respostas do sistema.
NavegaçãoGPS e Localização
Arccot é usado em sistemas GPS para calcular rolamentos e direções.