Calculadora de Função de Erro
Calcular a função de erro (erf) e função de erro complementar (erfc) para qualquer número real.
Calcular a Função de Erro
Sumário
Guia abrangente para funções de erro
A função de erro (erf) é uma função matemática especial fundamental com profundas implicações em várias disciplinas. Introduzido no século 19 por matemáticos que estudam a teoria da probabilidade, tornou-se desde então uma ferramenta essencial em estatística, física, engenharia e matemática aplicada.
Definição e Propriedades Matemáticas
A função de erro é formalmente definida como:
Essa integral não elementar representa a probabilidade de que uma variável aleatória com distribuição normal da média 0 e variância 1/2 caia na faixa [-x, x]. A função tem várias propriedades notáveis:
- É uma função ímpar: erf(-x) = -erf(x)
- Tem limites: erf(0) = 0 e erf( ) = 1
- Sua derivada é: (d/dx)erf(x) = (2/?π)e^(-x2)
- Sua expansão da série Taylor é: erf(x) = (2/?π) ?(n=0)^? ((-1)^n·x^(2n+1))/((((2n+1)·n!)
Relação com outras funções
A função de erro está intimamente relacionada com várias funções matemáticas importantes:
Função de Erro Complementar
erfc( x) = 1 - erf( x)
Distribuição Normal CDF
δ(x) = (1/2)(1 + erf(x/Ñ2))
Função Q
Q( x) = (1/2) erfc( x/ğ2)
Função de Erro Imaginativo
erfi(x) = -i·erf(ix)
Computação numérica
Embora a função de erro não tenha uma expressão de forma fechada em termos de funções elementares, existem várias aproximações numéricas precisas:
- Aproximação de Abramowitz e Stegun: erf(x)
- Expansão de fração contínua para erfc( x)
- Série Taylor para pequenos valores de x
- Expansão assintótica para grandes valores de x
Aplicações em Ciência e Engenharia
A função de erro aparece em vários campos:
Probabilidade Teoria
Utilizado no cálculo de probabilidades para variáveis aleatórias normalmente distribuídas e intervalos de confiança.
Estatísticas
Aparece em testes de hipóteses, quantificação de incertezas e análise de regressão.
Física
Usado em processos de difusão, termodinâmica e mecânica quântica.
Processamento de Sinais
Importante em comunicações digitais, detecção de erros e sistemas de correção.
Transferência de calor
As soluções para equações de calor e difusão frequentemente envolvem a função de erro.
Matemática Financeira
Usado no modelo Black-Scholes para preços de opção e avaliação de risco.
Desenvolvimento Histórico
The error function was first introduced by J.W.L. Glaisher in 1871, though the study of related integrals dates back to earlier mathematicians. The name "error function" comes from its connection to the theory of measurement errors in astronomy and geodesy, where normal distributions were first applied to model observational errors.
Tópicos Avançados
Análise complexa
A função de erro pode ser estendida ao plano complexo, criando a função de erro complexa. A função é inteira (holomórfica em toda parte), sem singularidades exceto no infinito.
Integrais Iterados
Integrações repetidas da função de erro complementar produzem as integrais ierfc(x), i2erfc(x), etc., que têm aplicações em problemas de difusão dependentes do tempo.
Função de Faddeeva
A função de erro complexa é tipicamente discutida em sua forma escalonada como a função Faddeeva: w(z) = e^(-z2)erfc(-iz), importante em física computacional e espectroscopia.
Sabias?
A integral gaussiana ∫(− )^^^ e^(-x2) dx = √π está intimamente relacionada com a função de erro. Embora a função de erro não tenha uma forma fechada elementar, esta integral definida tem uma solução de forma fechada elegante que pode ser comprovada através de uma mudança inteligente para coordenadas polares.
O que é a função de erro?
A função de erro (erf) é uma função especial que aparece em probabilidades, estatísticas e equações diferenciais parciais. É definida como a integral da função gaussiana e está relacionada à distribuição normal.
- Integral da função gaussiana
- Relacionado com a distribuição normal
- Usado na teoria da probabilidade
- Importante nas estatísticas
Propriedades
Simetria
erf(-x) = -erf(x)
Limites
erf(0) = 0, erf() = 1
Complementar
erfc( x) = 1 - erf( x)
Intervalo
-1 ≤ erf(x) ≤ 1
Fórmula da Função de Erro
A função de erro é definida pela seguinte integral:
Em que:
- x é o valor de entrada
- π é pi (aproximadamente 3.14159)
- e é o número de Euler (aproximadamente 2.71828)
Aplicações
ProbabilidadeDistribuição Normal
Usado para calcular probabilidades na distribuição normal e encontrar intervalos de confiança.
FísicaTransferência de calor
Usado na resolução de problemas de condução de calor e equações de difusão.
EngenhariaProcessamento de Sinais
Usado em processamento digital de sinais e teoria da comunicação.