Calculadora de somação
Calcular a soma de uma sequência usando notação sigma.
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Sumário
Entendendo a notação da soma
Introdução à Notação de Resumo
A notação de soma, representada pela letra grega sigma (?), é uma poderosa abreviatura matemática usada para expressar a adição de uma sequência de números ou termos. A notação condensa elegantemente o que de outra forma seriam expressões longas, tornando os cálculos complexos mais gerenciáveis e concisos.
Componentes da notação de soma
- O símbolo sigma (?)- Representa o funcionamento da soma
- Variável índice i)- Não. A variável que muda com cada termo
- Limite inferior (m)- Não. O valor inicial do índice
- Limite superior (n)- Não. O valor final do índice
- Função ou expressão f(i)- Não. A fórmula aplicada a cada valor do índice
Propriedades da chave da somação
Compreender essas propriedades ajuda a simplificar cálculos e manipular somas:
Propriedade Constante
(i=m a n) c = c + c + ... + c = c·(n-m+1)
Onde c é uma constante.
Propriedade Distributiva
(i=m a n) [f(i) + g(i)] = √f(i) + √g(i)
Soma das funções é igual à soma das suas somas separadas.
Multiplicação Escalar
(i=m to n) c·f(i) = c·
Constantes podem ser fatoradas fora do somatório.
Mudança de Índice
Ł(i=m to n) f(i) = Ł(j=m+k to n+k) f(j-k)
A mesma soma com índices deslocados.
Fórmulas comuns de síntese
Estas fórmulas padrão economizam tempo para calcular tipos específicos de somas:
Soma dos primeiros n números naturais
❌(i=1 a n) i = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
Soma dos Quadrados
(i=1 a n) i2 = 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Soma dos Cubos
(i=1 a n) i3 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2
Tipos de séries especiais
Diferentes tipos de sequências levam a diferentes fórmulas de somação:
Série Aritmética
Para uma sequência aritmética com primeiro termo a e diferença comum d:
(i=1 a n) [a + (i-1)d] = n/2 * [2a + (n-1)d] = n/2 * (primeiro termo + último termo)
Série geométrica
Para uma sequência geométrica com o primeiro termo a e relação comum r:
Ł(i=1 to n) ar^(i-1) = a(1-r^n)/(1-r) para r
Quando< 1, the sum of an infinite geometric series is:
√(i=1 a ع) ar^(i-1) = a/(1-r)
Técnicas avançadas de somação
Ao trabalhar com somas complexas, estes métodos podem ser úteis:
Série de Telescoping
Uma série de telescoping é uma em que termos intermediários cancelam quando expandidos, deixando apenas alguns termos. Por exemplo:
❌(i=1 a n) [1/i - 1/(i+1)] = 1 - 1/(n+1)
Resumição dupla
Ao trabalhar com múltiplos índices (como em matrizes):
(i=1 a m) (j=1 a n) a_ij
Aplicações de Resumo
A notação de soma tem aplicações generalizadas em matemática e outras disciplinas:
- Estatísticas- Calculando médias, variâncias e desvios padrão
- Cálculo- Riemann somas para aproximar integrais
- Finanças- Juros compostos e cálculos de valor presente
- Física- Computação de forças totais, energias ou outras quantidades físicas
- Ciência da Computação- Análise de algoritmo e complexidade computacional
Fórmula de somação
A soma (notação sigma) representa a soma de uma sequência de termos. Ela é denotada pela letra grega sigma.
Como calcular a soma
Para calcular uma soma, siga estes passos:
-
1Digite a expressão usando 'n' como variável
-
2Especificar o valor inicial (limite inferior)
-
3Especificar o valor final (limite superior)
-
4Calcular a soma de todos os termos do início ao fim
Por exemplo, para encontrar a soma de n2 de 1 a 5:
Resumo - Exemplos práticos
Exemplo 1Soma dos números naturais
Calcular a soma dos números naturais de 1 a 10.
(n=1 a 10) n = 1 + 2 + 3 + ... + 10 = 55
Exemplo 2Soma dos Quadrados
Calcular a soma dos quadrados de 1 a 5.
(n=1 a 5) n2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
Exemplo 3Sequência Aritmética
Calcular a soma da sequência aritmética 2n + 1 de 1 a 5.
(n=1 a 5) (2n + 1) = (2*1 + 1) + (2*2 + 1) + ... + (2*5 + 1) = 35