Calculadora Média Geométrica
Calcular a média geométrica de um conjunto de números positivos.
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Sumário
Compreensão Geométrica Média
A média geométrica é um tipo de média que representa a tendência central de um conjunto de números usando seu produto em vez de sua soma. É particularmente útil para conjuntos de dados com valores que mudam por multiplicação (como taxas de crescimento) em vez de por adição.
O que é a Média Geométrica?
A média geométrica é definida como a nth raiz do produto de n números. Ao contrário da média aritmética (que adiciona valores e divide pela contagem), a média geométrica multiplica todos os valores juntos e então toma a raiz apropriada.
Propriedades chave da média geométrica:
- É sempre menor ou igual à média aritmética (a qualidade só ocorre quando todos os valores são idênticos)
- Só é definido para números positivos
- É menos influenciada por valores extremos do que pela média aritmética
- Se cada valor num conjunto de dados for substituído pela média geométrica, o seu produto permanece inalterado
Diferenças entre média aritmética e geométrica
| Aspecto | Média Aritmética | Média geométrica |
|---|---|---|
| Fórmula | (x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n | (x₁ × x₂ × ... × xₙ)^(1/n) |
| Operação | Adição e divisão | Multiplicação em seguida, raiz |
| Melhor para | Dados lineares, alterações absolutas | Dados exponenciais, taxas de crescimento |
| Exemplo | Resultados médios dos testes | Retornos médios de investimento |
Aplicações da Média Geométrica
A média geométrica é amplamente utilizada em vários campos:
- Finanças:Calculando retornos médios de investimento e taxas de crescimento anuais compostas (CAGR)
- Biologia:Análise do crescimento populacional, taxas de crescimento bacteriano e processos biológicos
- Geometria:Encontrando o comprimento lateral de um quadrado com a mesma área que um retângulo
- Estatísticas:Analisando conjuntos de dados com comportamento exponencial ou relações proporcionais
- Economia:Medição das taxas médias de crescimento económico e dos índices de preços
Média geométrica em Geometria
Em geometria, a média geométrica tem um significado especial. Para um triângulo retângulo, se uma altitude é desenhada do ângulo direito para a hipotenusa, o comprimento da altitude é a média geométrica dos segmentos da hipotenusa. Isto é conhecido como o teorema da média geométrica.
Relação com outros meios:
Para qualquer conjunto de números reais positivos, a seguinte desigualdade mantém-se:
Média harmónica ≤ Média geométrica ≤ Média aritmética
Essa relação é conhecida como a desigualdade AM-GM-HM, e a igualdade ocorre apenas quando todos os valores no conjunto são idênticos.
Prova Matemática da Desigualdade AM-GM
A desigualdade AM-GM afirma que a média aritmética de um conjunto de números reais não negativos é maior ou igual à média geométrica desses números. Aqui está uma prova para dois números:
Para quaisquer dois números positivos a e b:
(a - b)² ≥ 0
a² - 2ab + b² ≥ 0
a² + 2ab + b² ≥ 4ab
(a + b)² ≥ 4ab
a + b ≥ 2
(a + b)/2 ≥ √ab
Isto prova que a média aritmética (a + b)/2 é maior ou igual à média geométrica √ab, com igualdade se e somente se a = b.
Cálculo Alternativo Métodos
Para grandes conjuntos de dados ou números com muitos dígitos, calcular a média geométrica diretamente pode levar a desafios computacionais devido a produtos muito grandes. Uma abordagem alternativa utiliza logaritmos:
- Pegue o logaritmo de cada número no conjunto de dados
- Calcular a média aritmética destes logaritmos
- Tome o antilogaritmo (exponenciação) desta média
GM = exp((log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))/n)
Ponderado Geométrico Média
Similar à média aritmética ponderada, podemos calcular uma média geométrica ponderada quando diferentes valores têm diferentes níveis de importância:
GM ponderado = (x1^w1 × x2^w2 × ... × xn^wn)^(1/(w1+w2+...+wn))
Quando w1, w2, ..., wn são os pesos atribuídos a cada valor.
Aplicações Avançadas
Em Finanças e Economia
A média geométrica é essencial para calcular a taxa de crescimento anual composta (CAGR) dos investimentos:
CAGR = (Valor Final / Valor Inicial)^(1/n) - 1
Onde n é o número de anos.
Por exemplo, se um investimento cresce de 1.000 dólares para 1.610 dólares em 5 anos, o CAGR é:
CAGR = (1610/1000)^(1/5) - 1 = 1,1^(1/5) - 1 = 0,10 ou 10%
No Processamento de Imagens
O filtro médio geométrico é usado no processamento digital de imagens para reduzir certos tipos de ruído, preservando características de borda, ao contrário dos filtros médios aritméticas que tendem a borrar bordas.
Em Acústica e Engenharia de Áudio
A média geométrica é utilizada para calcular a frequência central das bandas de frequência de áudio, particularmente em equalizadores e ferramentas de análise de áudio.
Frequência central = √(f1 × f2)
Quando f1 e f2 são os limites de frequência inferiores e superiores.
Média Geométrica na Ciência dos Dados
Na ciência dos dados e aprendizagem de máquina, a média geométrica é valiosa para:
- métricas de precisão normalizadas:Ao combinar múltiplas métricas de classificação
- Métodos de montagem:Combinando previsões de vários modelos
- Escala de recursos:Normalizando características com relações multiplicativas
- Detecção de anomalias:Identificação de outliers em dados multiplicativos
Quando escolher a média geométrica sobre a média aritmética:
- Quando se trata de percentagens, rácios ou taxas
- Ao analisar o crescimento ao longo de vários períodos
- Quando os valores têm relações multiplicativas em vez de aditivos
- Quando valores extremos podem distorcer uma média aritmética
- Ao calcular fatores médios ou multiplicadores
Fórmula Média Geométrica
A média geométrica é calculada tomando a nth raiz do produto de n números. É particularmente útil para calcular taxas médias de variação ou de crescimento.
Como calcular a média geométrica
Para calcular a média geométrica, siga estes passos:
-
1Multiplicar todos os números juntos
-
2Conte quantos números estão em seu conjunto de dados
-
3Tome a raiz nth do produto
Por exemplo, para encontrar a média geométrica de 2, 4, 8:
Média geométrica - Exemplos práticos
Exemplo 1Retornos de Investimento
Um investimento cresce em 10%, 20%, e 15% mais de três anos. Qual é a taxa média de crescimento anual?
Média geométrica = (1,10 × 1,20 × 1,15)^(1/3) = 1,1487 = 14,87%
Exemplo 2Crescimento da População
Uma população cresce de 1000 para 1500 em 5 anos. Qual é a taxa média de crescimento anual?
Taxa de crescimento = (1500/1000)^(1/5) = 1,0845 = 8,45%
Exemplo 3Dimensões do Retângulo
Um retângulo tem lados de 4 e 9. Qual é o comprimento lateral de um quadrado com a mesma área?
Média geométrica = 4 × 9) = 36 = 6