Calculadora de Área de Octógono

Introdução aos Octagons

The octagon is a fascinating geometric shape with rich mathematical properties and numerous real-world applications. Derived from the Greek words "okto" (eight) and "gonia" (angle), an octagon is an eight-sided polygon that has captured attention throughout history for its symmetry, structure, and aesthetic appeal.

Definição e Propriedades

Um octógono regular é um polígono com oito lados iguais e oito ângulos iguais. Cada ângulo interior de um octógono regular mede exatamente 135° (calculado como (8-2) × 180° . A soma de todos os ângulos interiores é sempre 1080°, independentemente do tamanho do octógono.

Todos os octógonos regulares são polígonos convexos, o que significa que todos os ângulos interiores são inferiores a 180° e todos os vértices apontam para fora. O alto grau de simetria em octógonos regulares os torna particularmente úteis no projeto e construção.

Propriedades Matemáticas

O octógono possui várias propriedades matemáticas importantes que o distinguem de outros polígonos:

• Um octógono regular tem 8 linhas de simetria - 4 passando por vértices opostos e 4 passando pelos pontos médios de lados opostos.
• Tem simetria rotacional da ordem 8, significando que pode ser girado de 8 maneiras diferentes e ainda olhar o mesmo.
• A área de um octógono regular com comprimento lateral 's' pode ser calculada usando a fórmula: A = 2(1 + √2) × s2.
• O perímetro é simplesmente calculado como 8 vezes o comprimento lateral.
• Um octógono pode ser construído a partir de um quadrado, truncando (cortando) seus cantos.

Diagonais e medições internas

Um octógono regular tem 20 diagonais no total. Estas diagonais podem ser classificadas em três tipos distintos com base no seu comprimento:

• Diagonais curtas:Conecte vértices com um vértice no meio. Comprimento = s × 2 + 2 + 2, onde s é o comprimento lateral.
• Diagonais médias:Conecte vértices com dois vértices no meio. Comprimento = s × (1 + ?2).
• Diagonais longas:Ligar vértices opostos. Comprimento = s × ?(4 + 2?2).

O octógono também pode ser inscrito em um círculo (circunscrito) ou ter um círculo inscrito dentro dele. O raio do círculo circunscrito (circurradio) é metade do comprimento da diagonal longa, enquanto o raio do círculo inscrito (inradio) é metade do comprimento da diagonal média.

Aplicações do Mundo Real

Os octógonos aparecem frequentemente em nosso ambiente diário e servem a vários propósitos práticos:

• Sinais de trânsito:O sinal de stop universalmente reconhecido é moldado como um octógono regular, tornando-o instantaneamente identificável mesmo à distância ou em má visibilidade.
• Arquitetura:Octagonal structures appear in buildings worldwide, such as the famous "Octagon House" in Washington D.C., gazebos, towers, and cupolas. The octagonal shape allows for increased stability while providing panoramic views.
• Tiling do piso:As telhas de octógono são comumente usadas em projetos de piso, muitas vezes combinadas com telhas quadradas para criar padrões visualmente atraentes sem lacunas.
• Desenho da câmera:Muitas aberturas de câmera usam um diafragma octogonal, que afeta o bokeh (áreas fora de foco) em fotografias. Ao fotografar fontes de luz brilhantes, a abertura octogonal cria um efeito estelar de oito pontas.
• Moeda:Algumas moedas, como as moedas britânicas de 50 pence e 20 pence, são baseadas em octagons curvados (heptagons Reuleaux).

Como desenhar um octógono regular

Existem vários métodos para construir um octógono regular:

1. De um Círculo:Desenhar um círculo e dividi-lo em oito arcos iguais usando um prolongador (intervalos de 45°). Conecte os pontos adjacentes com linhas retas.
2. De um quadrado:Desenhe um quadrado. Marque o ponto médio de cada lado. De cada canto do quadrado, desenhar linhas em 45° ângulos para o centro até que eles se cruzam com as linhas a partir dos pontos médios.
3. Usando uma bússola e borda reta:Desenhe um círculo. Desenhar dois diâmetros perpendiculares para dividir o círculo em quatro partes iguais. Então bissect cada uma destas partes para obter oito pontos equidistantes no círculo. Conecte pontos adjacentes com linhas retas.

Fatos interessantes

• Na arte e arquitetura islâmicas, estrelas de oito lados e octogons representam harmonia cósmica e os oito anjos que apoiarão o trono de Deus no Dia do Juízo Final.
• Em feng shui, o octógono (ba gua) é um símbolo fundamental utilizado para analisar a energia dos espaços.
• O edifício do Escritório de Patentes e Marcas dos Estados Unidos em Alexandria, Virgínia, possui um design octogonal.
• O octógono aparece em vários edifícios religiosos, como fontes batismais e torres da igreja, muitas vezes simbolizando regeneração e ressurreição.