Kalkulator Arctan
Obliczyć odwrotną tangens (arctan) dowolnej liczby rzeczywistej.
Wprowadź wartość
Spis treści
Kompleksowy przewodnik po Arctan
Wprowadzenie do Arctan
Funkcja arctan (arctangens), również oznaczona jako tan-1Atan jest jedną z odwrotnych funkcji trygonometrycznych, która odgrywa kluczową rolę w matematyce, fizyce, inżynierii i różnych innych dziedzinach. Ten kompleksowy przewodnik bada właściwości, zastosowania i znaczenie matematyczne funkcji arctan.
Definicja matematyczna
Arctangens jest zdefiniowany jako funkcja odwrotna tangensu. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, arctan (x) daje kąt θ taki, że tan (θ) = x, z wynikiem ograniczonym do zakresu (-∞ / 2, Ά/ 2) radianów lub (-90 °, 90 °).
- Domena: Wszystkie liczby rzeczywiste (- ∞, ∞)
- Zakres: (-∞ / 2, ∞ / 2) radiany lub (-90 °, 90 °)
- arctan jest funkcją nieparzystą: arctan (-x) = -arctan (x)
- Podczas gdy x zbliża się do nieskończoności, arctan (x) zbliża się ¶ ć / 2 (90 °)
- Gdy x zbliża się do minus nieskończoności, arctan (x) zbliża się do -∞ / 2 (-90 °)
Przedstawicielstwo graficzne
Wykres y = arctan (x) ma następujące właściwości:
- Przechodzi przez pochodzenie (0,0)
- Ciągle rośnie
- Posiada asymptoty poziome przy y = ∞ / 2 i y = -∞ / 2 (lub y = 90 ° i y = -90 °)
- Jest symetryczny o pochodzeniu
Ważne tożsamości i związki
| Tożsamość | Wzór |
|---|---|
| Wzór dodawania | arctan (x) + arctan (y) = arctan ((x + y) / (1- xy)), jeśli xy< 1 |
| Wzór odejmujący | arctan (x) - arctan (y) = arctan ((x- y) / (1 + xy)) |
| Podwójny kąt | arktan (2x / (1- x ²) |
| Pochodne | d / dx [arctan (x)] = 1 / (1 + x ²) |
| Integral | ∫Arctan (x) dx = x · arctan (x) - (1 / 2) · ln (1 + x ²) + C |
Zaawansowane aplikacje
1. Inżynieria i fizyka
W dziedzinie inżynierii i fizyki, arctan jest często używany do:
- Przetwarzanie sygnałów do obliczania kątów fazowych
- Inżynieria elektryczna do analizy impedancji i reakcji w obwodach prądu przemiennego
- Mechaniki obliczania kątów wykresów siły
- Optyka określania kątów załamania i odbicia
2. Informatyka
W grafice komputerowej i robotyce do:
- Przelicz ze współrzędnych kartezjańskich na polarne
- Oblicz kąty obrotu dla obiektów w przestrzeniach 2D i 3D
- Określić orientację i kierunek w systemach nawigacyjnych
3. Matematyka i kalkulacje
Arctan pojawia się w wielu kontekstach matematycznych:
- Techniki integracji dla funkcji racjonalnych
- Rozszerzenia i zbliżenie serii
- Rozwiązania dla równań różniczkowych
- Słynna seria Gregory- Leibniz: ∞ / 4 = arctan (1) = 1 - 1 / 3 + 1 / 5 - 1 / 7 +...
Obliczanie liczbowe Metody
Funkcja arctan można obliczyć przy użyciu różnych metod:
Przykłady praktyczne
Przykład 1: Znalezienie kąta
Jeżeli trójkąt prostokątny ma boki długości 3 (przeciwległe) i 4 (przyległe), kąt θ można znaleźć przy użyciu:
θ = arktan (naprzeciwko / w sąsiedztwie) = arktan (3 / 4)
Przykład 2: Nawigacja
Aby określić łożysko między dwoma współrzędnymi GPS (x, y) i (x, y):
łożysko = arctan ((y '-y') / (x '-x')
To daje kąt względem na wschód.
Kontekst historyczny
Funkcję arktyczną badano od wieków. W 1674 roku James Gregory odkrył ekspansję serii dla arktyny, która później odegrała kluczową rolę w obliczeniu ułamek. Funkcja zyskała na znaczeniu w dziedzinie kalkulacji i inżynierii w miarę rozwoju tych dziedzin, w szczególności wraz z pojawieniem się złożonych analiz i przetwarzania sygnałów w XIX i XX wieku.
Wniosek
Funkcja arktan jest potężnym narzędziem matematycznym z wszechstronnymi zastosowaniami w nauce, inżynierii i matematyce. Jego unikalne właściwości sprawiają, że jest ona nieoceniona do rozwiązywania problemów związanych z kątami, współrzędnymi i związkami trygonometrycznymi. Zrozumienie arktan jest niezbędne dla każdego, kto pracuje w tych dziedzinach, od inżynierów obliczających przesunięcia fazowe do programistów wdrażających algorytmy graficzne komputera.
Co to jest Arctan?
Funkcja arktan (znana również jako tangens odwrotny) jest odwrotną funkcją tangensa. Bierze dowolną liczbę rzeczywistą i zwraca kąt, którego tangens jest tą wartością.
Wzór Arctan
Funkcję arktanu można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
Wartości wspólne Arctan
Wartości specjalne
- arktan (0) = 0 °
- arktan (0,5774) = 30 °
- arktan (1) = 45 °
- arktan (1.7321) = 60 °
- arktan (∞) = 90 °
- arktan (- ∞) = -90 °
Właściwości
- Domena: (- ∞, ∞)
- Zasięg: (-90 °, 90 °) lub (-Ά/ 2, Ά/ 2)
- arctan (-x) = -arctan (x)
- arktan (tan (θ)) = θ dla -90 °< θ < 90°
Zastosowanie Arctan
FizykaRuch projektywny
Arctan jest używany do obliczania kątów startowych i trajektorii w ruchu pocisku.
InżynieriaSystemy sterowania
Funkcje Arctan są wykorzystywane w systemach sterowania do obliczania kątów fazowych i odpowiedzi systemowych.
NawigacjaGPS i lokalizacja
Arctan jest stosowany w systemach GPS do obliczania łożysk i kierunków.